Rückschlüsse mit Baumdiagramm: Übungen AFB II – Mathe Klasse 9

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Aufgabenblock — AFB II

10 Aufgaben aus allen Unterkapiteln des Themas. Jede Aufgabe braucht mehrere Schritte und einen Wechsel der Darstellung (Text → Baum → Tafel oder umgekehrt). Wahrscheinlichkeiten kannst du als Dezimalzahl mit Komma oder als Bruch (z. B. 4/7) eingeben. Bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

Leseumfrage — Anteile in zwei Gruppen vergleichen

AFB II

Die Schulbibliothek befragt 250 Schülerinnen und Schüler. Merkmal U: „ist in der Unterstufe (Klasse 5–7)“, Merkmal L: „liest regelmäßig in der Freizeit“. Von den 100 Befragten aus der Unterstufe lesen 60 regelmäßig; insgesamt lesen 105 Befragte regelmäßig.

a) Bestimme, wie viele Befragte nicht in der Unterstufe sind und trotzdem regelmäßig lesen. b) Berechne die relative Häufigkeit h(L und U). c) Berechne den Anteil der regelmäßigen Leser innerhalb der Gruppe U und vergleiche ihn mit dem Anteil in der Unterstufe.

a) Anzahl L und U = Personen

b) h(L und U) =

c) Anteil Leser in U =

Ansatz: Lege eine Vierfeldertafel mit Anzahlen an (Zeilen U / U, Spalten L / L). Die Randsummen stehen im Text; die fehlenden Felder ergeben sich durch Subtrahieren. Für c) teilst du durch die Größe der Gruppe U, nicht durch 250.

Rechenweg: L und U: 105 − 60 = 45. h = 45 : 250 = 0,18. Gruppe U: 250 − 100 = 150 Personen, davon 45 Leser → 45 : 150 = 0,3.

Lösung: a) 45 Personen. b) 0,18. c) 0,3 — in der Unterstufe liest dagegen der Anteil 60 : 100 = 0,6.

Vollständige Lösung

Vierfeldertafel (Anzahlen): U und L = 60, U und L = 40, Summe U = 100; U und L = 105 − 60 = 45, U und L = 150 − 45 = 105, Summe U = 150; Gesamt 250. a) 45. b) h(L und U) = 45 : 250 = 0,18 — bezogen auf alle Befragten. c) Innerhalb von U: 45 : 150 = 0,3. In der Unterstufe: 60 : 100 = 0,6. Deutung: Unter den Jüngeren ist der Anteil regelmäßiger Leser doppelt so groß. Wichtig ist, immer zu sagen, worauf sich ein Anteil bezieht: auf alle 250 (0,18) oder nur auf die Gruppe U (0,3).

Leseumfrage — Anzahlen

Haushalte — Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten ergänzen

AFB II

In einer Stadt hat ein zufällig ausgewählter Haushalt mit Wahrscheinlichkeit 0,65 ein Streaming-Abo (S) und mit Wahrscheinlichkeit 0,4 eine Spielkonsole (K). Die Wahrscheinlichkeit für „Streaming-Abo, aber keine Konsole“ beträgt 0,35.

Vervollständige die Vierfeldertafel und gib die drei fehlenden inneren Felder an.

P(S und K) =

Ansatz: Jede Zeile und jede Spalte addiert sich zur Randsumme; alles zusammen ergibt 1. Beginne in der Zeile, in der schon zwei Werte stehen (Zeile S).

Rechenweg: P(S und K) = 0,65 − 0,35 = 0,30. Spalte K: P(S und K) = 0,4 − 0,3 = 0,10. P(S) = 1 − 0,65 = 0,35, also P(S und K) = 0,35 − 0,10 = 0,25.

Lösung: P(S und K) = 0,3; P(S und K) = 0,1; P(S und K) = 0,25.

Vollständige Lösung

Zeile S: 0,65 − 0,35 = 0,30. Spalte K: 0,40 − 0,30 = 0,10. Rand S: 1 − 0,65 = 0,35; Rand K: 1 − 0,40 = 0,60. Letztes Feld: 0,35 − 0,10 = 0,25. Kontrolle über die Spalte K: 0,35 + 0,25 = 0,60 ✓ und Summe aller inneren Felder 0,30 + 0,35 + 0,10 + 0,25 = 1 ✓. Tipp für die Klassenarbeit: Das vierte Feld immer auf zwei Wegen ausrechnen — stimmen beide Ergebnisse überein, ist die Tafel fehlerfrei.

Streaming & Konsole

Sockenschublade — zweimal ziehen ohne Zurücklegen

AFB II

In einer Schublade liegen 5 schwarze (s) und 3 weiße (w) Einzelsocken. Im Dunkeln nimmt Ben nacheinander zwei Socken heraus, ohne die erste zurückzulegen.

a) Gib die Astwahrscheinlichkeit P_s(s) an: Die zweite Socke ist schwarz, wenn die erste schon schwarz war. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Ben zwei gleichfarbige Socken zieht. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine weiße Socke. Gib Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl (auf zwei Stellen gerundet) oder als Bruch ein.

a) P_s(s) =

b) P(gleiche Farbe) =

c) P(mind. eine w) =

Ansatz: Ohne Zurücklegen: In Stufe 2 sind nur noch 7 Socken in der Schublade, und von der gezogenen Farbe liegt eine weniger drin. Gleiche Farbe = Pfad ss oder Pfad ww (Summenregel). „Mindestens eine weiße“ geht am schnellsten über das Gegenereignis „beide schwarz“.

Rechenweg: a) 4/7. b) P(ss) = 5/8 · 4/7 = 20/56, P(ww) = 3/8 · 2/7 = 6/56, zusammen 26/56 = 13/28. c) 1 − P(ss) = 1 − 20/56 = 36/56 = 9/14.

Lösung: a) 4/7 ≈ 0,57. b) 13/28 ≈ 0,46. c) 9/14 ≈ 0,64.

Vollständige Lösung

a) Nach einer schwarzen Socke liegen noch 4 schwarze unter 7 Socken: P_s(s) = 4/7 ≈ 0,57. b) Produktregel entlang der Pfade: P(ss) = 5/8 · 4/7 = 20/56, P(ww) = 3/8 · 2/7 = 6/56. Summenregel: P(gleiche Farbe) = 26/56 = 13/28 ≈ 0,46. c) Gegenereignis von „mindestens eine weiße“ ist „keine weiße“ = ss: 1 − 20/56 = 36/56 = 9/14 ≈ 0,64. Kontrolle: Die drei Pfade sw, ws, ww ergeben 15/56 + 15/56 + 6/56 = 36/56 ✓. Typischer Fehler: mit Zurücklegen rechnen (5/8 · 5/8) — dann stimmen die Nenner der 2. Stufe nicht.

Zwei Socken ohne Zurücklegen

Reflexion — bevor du weitergehst

Drei Fragen zum Nachdenken — antworte für dich selbst.

1. Ast oder Pfad?In A4 und A9 stand eine Pfadwahrscheinlichkeit im Text, gefragt war aber ein Ast (oder umgekehrt). Woran erkennst du im Aufgabentext, welche der beiden gemeint ist?
2. Worauf bezogen?0,18 oder 0,3, 0,78 oder 0,46 — viele Aufgaben hatten zwei ähnlich klingende Anteile. Formuliere für eine Aufgabe in einem Satz, auf welche Gesamtheit sich jeder der beiden Werte bezieht.
3. Rechnen und deuten:Bei A8 und A10 reichte die Zahl allein nicht — du musstest eine Behauptung beurteilen. Was hat dir dabei geholfen: die Faustregel, der Vergleich zweier Äste oder das Suchen nach einem Drittmerkmal?