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Ähnlichkeit

Stimmt das wirklich — und warum? Zehn Aufgaben, bei denen die Begründung mehr zählt als das Ergebnis.

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Aufgabenblock — AFB III

Begründen statt nur rechnen: rückwärts arbeiten, Strukturen erkennen und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.

A1
Sind alle Rechtecke ähnlich?
AFB III

Beurteile in drei bis vier Sätzen, ob Mia recht hat: „Alle Rechtecke sind zueinander ähnlich, denn sie haben alle vier rechte Winkel.“ Nenne ein Beispiel und eine Figurenart, bei der die Aussage tatsächlich stimmt.

Hinweis: Ähnlichkeit hat zwei Bedingungen. Prüfe, ob Mia beide abgedeckt hat.

Strategie: Zwei konkrete Rechtecke wählen und die Seitenverhältnisse vergleichen.Warum so? Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um eine „alle“-Aussage zu widerlegen.
Lösungsskizze: gleiche Winkel ✓ · Seitenverhältnisse: 2 × 3 und 2 × 5 → 2 : 2 = 1, aber 3 : 5 ≠ 1 · nicht ähnlich · Quadrate: nur ein Verhältnis → immer ähnlich.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Mia hat nicht recht. Für Ähnlichkeit müssen die Winkel gleich sein und alle Seiten im gleichen Verhältnis stehen. Die Rechtecke 2 cm × 3 cm und 2 cm × 5 cm haben zwar dieselben Winkel, aber die Faktoren 2 : 2 = 1 und 5 : 3 ≈ 1,67 sind verschieden — das eine ist schmal, das andere lang gezogen. Bei Quadraten stimmt die Aussage: Alle Seiten sind gleich lang, daher gibt es nur einen einzigen Faktor, und je zwei Quadrate sind ähnlich.

A2
Jede Seite 2 cm länger
AFB III

Beurteile, ob Tims Aussage stimmt: „Wenn ich jede Seite eines Dreiecks um 2 cm verlängere, bekomme ich ein ähnliches Dreieck.“ Gibt es Dreiecke, bei denen es trotzdem klappt?

Hinweis: Rechne ein Beispiel mit verschieden langen Seiten durch und bilde die Faktoren.

Strategie: Mit dem Dreieck 3 cm, 4 cm, 5 cm testen und die drei Faktoren vergleichen.Warum so? Ähnlich heißt: überall derselbe Faktor. Addieren verändert kurze Seiten stärker als lange.
Lösungsskizze: 3 → 5, 4 → 6, 5 → 7 · Faktoren 1,67; 1,5; 1,4 · verschieden → nicht ähnlich · Ausnahme: gleichseitig, dort bleibt ein einziger Faktor.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Im Allgemeinen stimmt es nicht. Aus 3 cm, 4 cm, 5 cm wird 5 cm, 6 cm, 7 cm; die Faktoren 5 : 3 ≈ 1,67, 6 : 4 = 1,5 und 7 : 5 = 1,4 sind verschieden, also ist das neue Dreieck nicht ähnlich (das rechtwinklige wird sogar spitzwinklig). Nur bei gleichseitigen Dreiecken klappt es: Aus drei gleichen Seiten werden wieder drei gleiche Seiten, und alle gleichseitigen Dreiecke sind ähnlich.

A3
Warum die Fläche mit k² wächst
AFB III

Begründe anschaulich, warum sich der Flächeninhalt eines Rechtecks vervierfacht, wenn man es mit k = 2 streckt, und leite daraus die allgemeine Regel A′ = k² · A her.

Hinweis: Setze die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks mit den gestreckten Seiten an.

Strategie: Die Seiten a und b durch k · a und k · b ersetzen.Warum so? So wird sichtbar, dass der Faktor k zweimal auftaucht.
Lösungsskizze: A = a · b · A′ = (k a)(k b) = k² a b · bei k = 2: vier Kopien passen hinein · jede Figur lässt sich aus kleinen Quadraten zusammensetzen.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Beim Strecken werden Länge und Breite beide k-mal so groß. Für das Rechteck gilt dann A′ = (k · a) · (k · b) = k² · a · b = k² · A. Bei k = 2 passen genau 2 · 2 = 4 Originale in das Bild. Weil sich jede Fläche beliebig genau aus kleinen Quadraten zusammensetzen lässt und jedes davon um k² wächst, gilt die Regel für alle Figuren.