Ähnlichkeit: Übungen AFB II – Mathe Klasse 9

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus allen Kapiteln des Themas: erst die Situation übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

Foto im Großformat

AFB II

Ein Foto im Format 9 cm × 13 cm soll maßstäblich vergrößert werden, sodass die kurze Seite 27 cm lang ist.

a) Berechne die Länge der langen Seite. b) Wie viel mal so viel Fotopapier braucht das große Bild?

a) lange Seite = cm

b) Faktor Fläche =

Ansatz: Erst den Streckfaktor aus den kurzen Seiten bestimmen, dann alle Längen damit multiplizieren. Für die Fläche wird mit k² gerechnet.

Rechenweg: k = 27 cm9 cm = 3. Lange Seite: 3 · 13 cm = 39 cm. Fläche: k² = 3² = 9.

Lösung: a) 39 cm b) 9-mal so viel

Vollständige Lösung

Aus den kurzen Seiten folgt k = 27 cm9 cm = 3. Die lange Seite wird damit 3 · 13 cm = 39 cm lang. Weil Länge und Breite beide verdreifacht werden, wächst die Fläche um 3 · 3 = 9: Das große Bild braucht 9-mal so viel Papier (1053 cm² statt 117 cm²). Hinweis: Wer die Fläche nur verdreifacht, vergisst, dass zwei Richtungen wachsen.

Modellauto im Maßstab 1 : 18

AFB II

Ein Auto ist 4,32 m lang. Ein Modell wird im Maßstab 1 : 18 gebaut.

a) Berechne die Länge des Modells in cm. b) Die Dachfläche des Modells ist 150 cm² groß. Berechne die Dachfläche des echten Autos in m².

a) Länge Modell = cm

b) Dachfläche Auto = m²

Ansatz: Maßstab 1 : 18 heißt: Längen im Modell sind 18-mal kleiner. Für Flächen gilt der Faktor 18².

Rechenweg: 432 cm : 18 = 24 cm. Dachfläche: 150 cm² · 18² = 150 cm² · 324 = 48 600 cm² = 4,86 m².

Lösung: a) 24 cm b) 4,86 m²

Vollständige Lösung

Die Autolänge in cm ist 432 cm, geteilt durch 18 ergibt das Modell 24 cm. Vom Modell zum Original ist k = 18, für Flächen also k² = 324: 150 cm² · 324 = 48 600 cm². Wegen 1 m² = 10 000 cm² sind das 4,86 m². Hinweis: Beim Umrechnen von cm² in m² gilt der Faktor 10 000, nicht 100.

Streckzentrum und Bildstrecke

AFB II

Bei einer zentrischen Streckung mit Zentrum Z liegt P′ auf dem Strahl ZP hinter P. Es gilt ZP = 3 cm und PP′ = 4,5 cm.

a) Berechne den Streckfaktor k. b) Eine Strecke QR der Figur ist 2,2 cm lang. Berechne die Länge der Bildstrecke Q′R′.

a) k =

b) Q′R′ = cm

Ansatz: k ist das Verhältnis ZP′ZP. Dazu erst ZP′ aus den beiden Teilstücken zusammensetzen.

Rechenweg: ZP′ = 3 cm + 4,5 cm = 7,5 cm, also k = 7,5 cm3 cm = 2,5. Q′R′ = 2,5 · 2,2 cm = 5,5 cm.

Lösung: a) 2,5 b) 5,5 cm

Vollständige Lösung

Der Bildpunkt liegt hinter P, also ist ZP′ = 3 cm + 4,5 cm = 7,5 cm und k = 7,53 = 2,5. Jede Strecke der Figur wird mit diesem Faktor gestreckt: Q′R′ = 2,5 · 2,2 cm = 5,5 cm. Hinweis: Der Fehler 4,53 = 1,5 misst ab P statt ab Z.

Die Teilstücke liegen hintereinander