Aufgabenblock — AFB III
Hier geht es nicht mehr ums bloße Anwenden — du sollst begründen, rückwärts arbeiten und Strukturen erkennen. Manche Aufgaben haben keine fertige Zahl als Lösung, sondern verlangen einen Begründungssatz. Bei diesen Aufgaben gilt: erst selbst denken, dann die Musterlösung öffnen — das Aufklappen zählt als erledigt.
Begründe in 3–4 Sätzen, warum die Formel A = ½ · g · h für jedes Dreieck gilt — egal ob spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig.
Hinweis: Denke an das Ergänzungsprinzip — zwei kongruente Dreiecke ergeben zusammen ein Parallelogramm mit Fläche g · h.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Nimmt man ein beliebiges Dreieck mit Grundseite g und zugehöriger Höhe h, kann man eine zweite, kongruente Kopie um 180° drehen und an einer Seite anlegen — so entsteht stets ein Parallelogramm mit Grundseite g und Höhe h. Dessen Flächeninhalt ist nach der bekannten Parallelogrammformel APar = g · h. Da das Dreieck genau die Hälfte des Parallelogramms ist, folgt ADreieck = ½ · g · h. Diese Konstruktion funktioniert für spitzwinklige, rechtwinklige und auch stumpfwinklige Dreiecke gleichermaßen — bei stumpfwinkligen liegt die Höhe nur außerhalb der Grundseite, das Verdoppelungsprinzip bleibt aber gültig.
Ein Trapez hat den Flächeninhalt A = 84 cm² und parallele Seiten a = 14 cm und c = 10 cm. Berechne die Höhe h.
Musterlösung anzeigen
Gegeben: A = 84 cm², a = 14 cm, c = 10 cm
Formel: A = ½ · (a + c) · h
Einsetzen: 84 = ½ · (14 + 10) · h = ½ · 24 · h = 12 · h
Umstellen: h = 84 ÷ 12 = 7 cm
Zeige in 2–3 Sätzen: Die Trapezformel A = ½ · (a + c) · h geht in die Parallelogrammformel A = a · h über, sobald a = c ist.
Was passiert beim Trapez, wenn die beiden parallelen Seiten gleich lang werden?
Musterlösung anzeigen
Musterlösung: Setzt man in der Trapezformel A = ½ · (a + c) · h die Bedingung c = a ein, ergibt sich A = ½ · (a + a) · h = ½ · 2a · h = a · h. Das ist genau die bekannte Parallelogrammformel. Geometrisch ist das auch sinnvoll: Wenn beim Trapez die obere parallele Seite c genauso lang wird wie die untere a, ist die Figur ein Parallelogramm. Die Trapezformel enthält die Parallelogrammformel also als Sonderfall.
Reflexion — was hast du mitgenommen?
AFB III bedeutet: nicht nur rechnen, sondern verstehen, warum. Du hast geübt:
- Verallgemeinern — eine Formel gilt nicht durch Zufall, sondern hat einen geometrischen Grund (Ergänzungsprinzip beim Dreieck).
- Rückwärtsrechnen — Formeln nach unbekannten Größen umstellen (Höhe aus Fläche bzw. Volumen).
- Strukturen erkennen — Trapez und Parallelogramm gehören zur selben Formelfamilie; Volumen hängt nur vom Flächeninhalt der Grundfläche ab.
- Optimieren — bei gegebenem Volumen hat der Würfel die kleinste Oberfläche.
- Modellieren — reale Gegenstände als Prisma sehen und Maße schätzen/messen/rechnen.
In der Klassenarbeit zählt eine saubere Begründung oft genauso viel wie das richtige Ergebnis. Schreibe immer einen Antwortsatz mit Einheit.