Probe-Klassenarbeit (Vielecke und Prismen) – Mathe Klasse 8 einfach erklärt

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AFB I

Wissen und Reproduzieren

25 Punkte

Grundwissen — Flächen und Körper

AFB I 6 Punkte

Berechne die fehlenden Werte. Gib nur das Ergebnis ein — Komma oder Punkt sind beide erlaubt.

a) Dreieck mit g = 12 cm und h = 5 cm 1 P

A = cm²

b) Parallelogramm mit a = 8 cm und h = 6 cm 1 P

A = cm²

c) Trapez mit a = 10 cm, c = 4 cm, h = 5 cm 1 P

A = cm²

d) Rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 9 cm und 6 cm 1 P

A = cm²

e) Quader 6 cm × 4 cm × 3 cm — Oberfläche 1 P

O = cm²

f) Würfel mit a = 5 cm — Volumen 1 P

V = cm³

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) A = ½ · 12 · 5 = 30 cm²

b) A = 8 · 6 = 48 cm²

c) A = ½ · (10 + 4) · 5 = ½ · 14 · 5 = 35 cm²

d) A = ½ · 9 · 6 = 27 cm²

e) O = 2 · (6·4 + 6·3 + 4·3) = 2 · 54 = 108 cm²

f) V = 5³ = 125 cm³

Formeln zuordnen

AFB I 5 Punkte

Wähle zu jedem Begriff die passende Formel aus. Achtung: Es stehen mehr Formeln zur Auswahl, als du brauchst.

Ordne jeder Figur bzw. Größe die richtige Formel zu. 5 P

Fläche eines Dreiecks

Fläche eines Parallelogramms

Fläche eines Trapezes

Mantel eines Prismas

Volumen eines Prismas

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Dreieck → A = ½ · g · h · Parallelogramm → A = g · h · Trapez → A = ½ · (a + c) · h

Mantel → M = u · h (u = Umfang der Grundfläche) · Volumen → V = G · h

Nicht gebraucht: A = a² (Quadrat) und O = 2 · G + M (Oberfläche).

Einheiten umrechnen

AFB I 4 Punkte

Denk daran: Bei Flächen ist jede Stufe der Faktor 100, bei Volumen der Faktor 1000.

a) 3 m² = ? cm² 1 P

= cm²

b) 2500 cm³ = ? Liter 1 P

= L

c) 0,75 m³ = ? Liter 1 P

= L

d) 4500 cm² = ? m² 1 P

= m²

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) 1 m² = 10 000 cm² → 3 m² = 30 000 cm²

b) 1 L = 1000 cm³ → 2500 cm³ = 2,5 L

c) 1 m³ = 1000 L → 0,75 m³ = 750 L

d) 4500 ÷ 10 000 = 0,45 m²

Welche Körper sind Prismen?

AFB I 3 Punkte

Ein Prisma hat zwei kongruente, parallel liegende Vielecke als Grund- und Deckfläche.

Kreuze alle Körper an, die ein Prisma sind. (mehrere Antworten richtig) 3 P

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Prismen sind Würfel, Quader und das sechsseitige Prisma — ihre Grundfläche ist jeweils ein Vieleck.

Keine Prismen: Die Kugel hat gar keine ebene Grundfläche, die Pyramide läuft nach oben spitz zu (sie hat keine Deckfläche, nur eine Spitze) und beim Zylinder ist die Grundfläche ein Kreis, also kein Vieleck.

Netz eines dreiseitigen Prismas

AFB I 3 Punkte

Rechts siehst du drei Vorschläge für ein Netz. Nur einer lässt sich zu einem dreiseitigen Prisma falten.

Welches Netz gehört zu einem dreiseitigen Prisma? 3 P

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Richtig ist Netz B. Ein dreiseitiges Prisma besteht aus 2 Dreiecken (Grund- und Deckfläche) und 3 Rechtecken (Mantel) — genau eines pro Dreiecksseite.

Netz A hat nur 2 Rechtecke, es fehlt also eine Mantelfläche. Netz C hat ein Dreieck zu viel.

Drei Netz-Vorschläge

Schrägbild — die Regeln

AFB I 4 Punkte

Beim Schrägbild gelten feste Zeichenregeln. Prüfe, ob du sie sicher kennst.

a) Unter welchem Winkel zeichnet man üblicherweise die Tiefenkanten? 2 P

b) Wie zeichnet man Kanten, die hinter dem Körper verdeckt liegen? 2 P

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) Die Tiefenkanten laufen unter 45° nach hinten.

b) Verdeckte Kanten werden gestrichelt gezeichnet — sie gehören zum Körper, sind aber nicht sichtbar.

AFB II

Anwenden und Übertragen

44 Punkte

Dreiseitiges Prisma — Oberfläche und Volumen

AFB II 8 Punkte

Ein dreiseitiges Prisma hat als Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 5 cm und 12 cm (Hypotenuse 13 cm). Die Höhe des Prismas beträgt h = 9 cm.

a) Grundflächeninhalt G 2 P

G = cm²

b) Umfang der Grundfläche u 1 P

u = cm

c) Mantelfläche M 2 P

M = cm²

d) Oberflächeninhalt O 2 P

O = cm²

e) Volumen V 1 P

V = cm³

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) G = ½ · 5 · 12 = 30 cm²

b) u = 5 + 12 + 13 = 30 cm

c) M = u · h = 30 · 9 = 270 cm²

d) O = 2 · G + M = 60 + 270 = 330 cm²

e) V = G · h = 30 · 9 = 270 cm³

Rechtwinkliges Prisma

Zerlegungsfigur — L-Form

AFB II 5 Punkte

Eine L-förmige Figur besteht aus zwei Rechtecken: das obere ist 6 cm × 4 cm, das untere ist 10 cm × 5 cm und schließt unten an.

a) Welche Zerlegung führt hier direkt zum Ziel? 3 P

b) Gesamtflächeninhalt der L-Figur 2 P

A_ges = cm²

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) Die L-Figur zerfällt genau in das obere Rechteck (6 × 4) und das untere Rechteck (10 × 5). Beide überlappen nicht — sie teilen sich nur eine Kante.

Ein Rechteck 10 × 9 wäre das umschließende Rechteck — damit könnte man auch rechnen, aber dann müsste man das fehlende Stück wieder abziehen (Ergänzen statt Zerlegen).

b) A = 6 · 4 + 10 · 5 = 24 + 50 = 74 cm²

L-Figur mit Maßen

Sachaufgabe — Aquarium

AFB II 6 Punkte

Ein oben offenes Aquarium hat die Form eines Quaders mit den Innenmaßen 80 cm × 35 cm × 40 cm.

a) Welche Glasfläche braucht man (Boden + 4 Wände, kein Deckel)? Gib das Ergebnis in m² an. 3 P

A_Glas = m²

b) Wie viele Liter Wasser fasst das Aquarium randvoll? 2 P

V = L

c) Wie viele Liter, wenn es nur zu ⁴∕⁵ gefüllt wird? 1 P

V = L

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) Boden 80 · 35 = 2800 cm²; zwei Längsseiten 2 · 80 · 40 = 6400 cm²; zwei Querseiten 2 · 35 · 40 = 2800 cm².

A = 2800 + 6400 + 2800 = 12 000 cm² = 1,2 m² (10 000 cm² = 1 m²)

b) V = 80 · 35 · 40 = 112 000 cm³ = 112 L

c) ⁴∕⁵ · 112 L = 89,6 L

Offenes Aquarium

A10

Sachaufgabe — Zelt

AFB II 6 Punkte

Ein Firstzelt ist ein liegendes dreiseitiges Prisma. Der Querschnitt ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundseite b = 2,4 m und der Höhe h = 1,6 m; die Schenkel sind je s = 2 m lang. Das Zelt ist l = 3 m lang.

a) Flächeninhalt des Querschnitts (Grundfläche G) 2 P

G = m²

b) Rauminhalt des Zeltes 2 P

V = m³

c) Zeltstoff für die zwei Dachflächen und die zwei dreieckigen Stirnseiten (ohne Boden) 2 P

A = m²

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) G = ½ · 2,4 · 1,6 = 1,92 m²

b) V = G · l = 1,92 · 3 = 5,76 m³

c) Dachflächen: 2 · (2 · 3) = 12 m². Stirnseiten: 2 · 1,92 = 3,84 m².

A = 12 + 3,84 = 15,84 m² — der Boden zählt hier nicht mit.

Zelt als dreiseitiges Prisma

A11

Sachaufgabe — Schokoladenverpackung

AFB II 5 Punkte

Eine Schokoladenpackung ist ein dreiseitiges Prisma. Der Querschnitt ist ein gleichschenkliges Dreieck mit g = 4,8 cm, h = 3,2 cm und den Schenkeln s = 4 cm. Die Packung ist 21 cm lang.

a) Grundflächeninhalt G 1 P

G = cm²

b) Rauminhalt der Packung 2 P

V = cm³

c) Kartonverbrauch, also die gesamte Oberfläche 2 P

O = cm²

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) G = ½ · 4,8 · 3,2 = 7,68 cm²

b) V = G · l = 7,68 · 21 = 161,28 cm³

c) u = 4,8 + 4 + 4 = 12,8 cm → M = u · l = 12,8 · 21 = 268,8 cm²

O = 2 · G + M = 15,36 + 268,8 = 284,16 cm²

Dreiseitiges Prisma als Verpackung

A12

Sachaufgabe — trapezförmiges Grundstück

AFB II 5 Punkte

Ein Grundstück hat die Form eines Trapezes mit a = 40 m, c = 24 m und der Höhe h = 25 m.

a) Flächeninhalt des Grundstücks 2 P

A = m²

b) Rollrasen kostet 3,50 € pro m². Was kostet die komplette Fläche? 2 P

Preis = €

c) Welche Angabe brauchst du für den Flächeninhalt nicht? 1 P

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) A = ½ · (40 + 24) · 25 = ½ · 64 · 25 = 800 m²

b) 800 · 3,50 € = 2800 €

c) In die Trapezformel gehen nur die beiden parallelen Seiten a und c sowie die Höhe h ein. Die schräge Seite braucht man nur für den Umfang, nicht für die Fläche.

Trapezförmiges Grundstück

A13

Sechsseitiges Prisma

AFB II 5 Punkte

Ein Bleistiftrohling ist ein regelmäßiges sechsseitiges Prisma. Die Grundfläche lässt sich in sechs gleiche Dreiecke mit der Seite a = 3 cm und der Höhe 2,6 cm zerlegen. Das Prisma ist 10 cm hoch.

a) Grundflächeninhalt G 2 P

G = cm²

b) Umfang der Grundfläche u 1 P

u = cm

c) Mantelfläche M 1 P

M = cm²

d) Volumen V 1 P

V = cm³

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) Ein Teildreieck: ½ · 3 · 2,6 = 3,9 cm². Sechs davon: G = 6 · 3,9 = 23,4 cm²

b) u = 6 · 3 = 18 cm

c) M = u · h = 18 · 10 = 180 cm²

d) V = G · h = 23,4 · 10 = 234 cm³

Sechseck-Prisma und Zerlegung

A14

Schrägbild rückwärts rechnen

AFB II 4 Punkte

Im Schrägbild wird die gezeichnete Tiefe mit dem Verkürzungsfaktor q aus der echten Tiefe berechnet: gezeichnet = q · echt.

a) Du misst im Schrägbild eine Tiefe von 3,5 cm; es wurde mit q = ½ gezeichnet. Wie tief ist der Körper in Wirklichkeit? 2 P

t = cm

b) Ein Körper ist 6 cm tief und soll mit q = ⅓ gezeichnet werden. Wie lang wird die Tiefenkante im Bild? 2 P

t_Bild = cm

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) echt = gezeichnet ÷ q = 3,5 ÷ ½ = 3,5 · 2 = 7 cm

b) gezeichnet = q · echt = ⅓ · 6 = 2 cm

Merke: Vom Bild zur Wirklichkeit wird dividiert, von der Wirklichkeit ins Bild wird multipliziert.

Schrägbild-Konvention

AFB III

Verknüpfen und Beurteilen

31 Punkte

A15

Rückwärts vom Oberflächeninhalt

AFB III 4 Punkte

Ein Würfel hat einen Oberflächeninhalt von 216 cm². Alle sechs Flächen sind gleich große Quadrate.

a) Wie lang ist eine Kante a? 2 P

a = cm

b) Welches Volumen hat der Würfel? 2 P

V = cm³

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) O = 6 · a² ⇒ a² = 216 ÷ 6 = 36 ⇒ a = 6 cm

b) V = a³ = 6 · 6 · 6 = 216 cm³

Kurios: Beim Würfel mit a = 6 cm stimmen die Maßzahlen von O und V zufällig überein — die Einheiten sind aber verschieden (cm² und cm³).

A16

Zwei Körper im Vergleich

AFB III 5 Punkte

Links ein Quader mit 6 cm × 5 cm × 4 cm. Rechts ein dreiseitiges Prisma: rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 cm und 8 cm, Prismenhöhe 5 cm.

a) Volumen des Quaders 1 P

V₁ = cm³

b) Volumen des Prismas 1 P

V₂ = cm³

c) Welche Aussage trifft auf die beiden Körper zu? 3 P

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) V₁ = 6 · 5 · 4 = 120 cm³

b) G = ½ · 6 · 8 = 24 cm²; V₂ = 24 · 5 = 120 cm³

c) Gleiches Volumen — aber O₁ = 2 · (30 + 24 + 20) = 148 cm² und O₂ = 2 · 24 + (6 + 8 + 10) · 5 = 48 + 120 = 168 cm². Gleiches Volumen bedeutet also nicht gleiche Oberfläche.

Quader und Prisma mit gleichem Volumen

A17

Was passiert beim Verdoppeln?

AFB III 4 Punkte

Von einem Würfel werden alle Kantenlängen verdoppelt. Überlege zuerst an einem Zahlenbeispiel (z. B. a = 2 cm → a = 4 cm) und entscheide dann.

a) Wie verändert sich der Oberflächeninhalt? 2 P

b) Wie verändert sich das Volumen? 2 P

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) a = 2 cm: O = 6 · 4 = 24 cm². a = 4 cm: O = 6 · 16 = 96 cm². 96 ÷ 24 = 4. Flächen wachsen mit dem Quadrat des Faktors: 2² = 4.

b) a = 2 cm: V = 8 cm³. a = 4 cm: V = 64 cm³. 64 ÷ 8 = 8. Volumina wachsen mit der dritten Potenz: 2³ = 8.

A18

Schwimmbecken füllen

AFB III 7 Punkte

Ein Schwimmbecken ist 25 m lang und 10 m breit. Der Boden fällt gleichmäßig ab: am flachen Ende ist das Becken 1,2 m tief, am tiefen Ende 2,8 m. Der Längsschnitt ist also ein Trapez, und das Becken ist ein liegendes Prisma mit diesem Trapez als Grundfläche.

a) Flächeninhalt des Trapez-Längsschnitts 2 P

A = m²

b) Volumen des Beckens 2 P

V = m³

c) Wie viele Liter Wasser fasst das Becken? 1 P

V = L

d) Eine Pumpe schafft 500 L pro Minute. Wie lange dauert das Füllen? 2 P

t = min

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) A = ½ · (1,2 + 2,8) · 25 = ½ · 4 · 25 = 50 m²

b) V = G · h = 50 · 10 = 500 m³ (die Breite ist hier die „Prismenhöhe“)

c) 1 m³ = 1000 L ⇒ 500 · 1000 = 500 000 L

d) 500 000 ÷ 500 = 1000 min ≈ 16 Stunden 40 Minuten.

Längsschnitt des Beckens

A19

Fehler finden

AFB III 5 Punkte

Ein Mitschüler hat sich einen Spickzettel geschrieben. Leider haben sich Fehler eingeschlichen. Kreuze nur die falschen Zeilen an.

Welche Zeilen sind falsch? (mehrere Antworten richtig) 5 P

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Falsch:

• A_Dreieck = g · h — es fehlt der Faktor ½: A = ½ · g · h

• O_Prisma = G + M — es gehören zwei Grundflächen dazu: O = 2 · G + M

• 1 m² = 100 cm² — bei Flächen wird der Umrechnungsfaktor quadriert: 1 m² = 100² cm² = 10 000 cm²

Richtig sind M = u · h, V = G · h und 1 L = 1000 cm³.

A20

Wahr oder falsch?

AFB III 6 Punkte

Zum Abschluss: Kreuze alle Aussagen an, die richtig sind. Falsch angekreuzte Aussagen ziehen Punkte ab — lies also genau.

Welche Aussagen stimmen? (mehrere Antworten richtig) 6 P

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Richtig:

• Zwei kongruente (deckungsgleiche) Grundflächen — genau das definiert ein Prisma.

• Ein Würfel ist ein Prisma mit quadratischer Grundfläche.

• Die Höhe steht per Definition senkrecht auf der Grundseite.

• V = G · h: verdoppelt sich h und G bleibt gleich, verdoppelt sich V.

Falsch: Beim Dreieck fehlt der Faktor ½: A = ½ · 6 · 4 = 12 cm². Und gleiches Volumen bedeutet nicht gleiche Oberfläche — siehe A16.

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Notenschema

Punkte	Note	Beurteilung
100 – 92 P	1	sehr gut
91 – 80 P	2	gut
79 – 60 P	3	befriedigend
59 – 44 P	4	ausreichend
43 – 24 P	5	mangelhaft
23 – 0 P	6	ungenügend