10 Aufgaben zum Begründen und Beurteilen: Sonderfälle, Parameter, Fehleranalyse und Grenzen des Modells.
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Aufgabenblock — AFB III
Diese Übung deckt alle fünf Unterkapitel des Themas „Gleichungssysteme“ ab. Auf der Stufe AFB III (Verallgemeinern und Beurteilen) wird nicht mehr nur gerechnet: Du begründest Sonderfälle, findest fremde Fehler, überträgst das Verfahren auf Parameter, Brüche und drei Unbekannte und beurteilst, ob ein rechnerisch richtiges Ergebnis im Sachzusammenhang überhaupt Sinn ergibt. Das sind die 10 Aufgaben für die letzte Note.
A1
Ein Parameter entscheidet
AFB III
I y = 2x + 5 II 4x − 2y = k
In Gleichung II steht statt einer festen Zahl der Parameter k. Untersuche, wie k über die Lösungsmenge bestimmt: Für welches k hat das System unendlich viele Lösungen — und wie viele Lösungen hat es für k = 6?
Beide auf dieselbe Form bringen: Löse II nach y auf: −2y = −4x + k, also y = 2x − 0,5k. Vergleiche das mit y = 2x + 5.
Vergleich der Achsenabschnitte: Die Steigung ist in beiden Fällen 2 — die Geraden sind also nie schneidend, sondern immer parallel oder identisch. Entscheidend ist allein b.
Lösung: Identisch werden sie für −0,5k = 5, also k = −10 — dann unendlich viele Lösungen. Für k = 6 ist y = 2x − 3, also parallel zu y = 2x + 5: 0 Lösungen.
A2
Fehlersuche in einer Klassenarbeit
AFB III
I 3x − 2y = 5 II 4x + 3y = 18
Ein Schüler hat diesen Lösungsweg abgegeben. Drei Zeilen sind falsch. Prüfe jede Zeile für sich: Was müsste an dieser Stelle richtig stehen? Klicke genau die fehlerhaften Zeilen an.
In dieser Rechnung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die drei Fehler stehen für die drei häufigsten Punktverluste: eine halbe Multiplikation, ein Vorzeichen beim Teilen und eine vertauschte Antwort. Alle drei fallen sofort auf, wenn man am Ende die Probe in beiden Gleichungen macht — mit (2 | 3) ergäbe Gleichung I nämlich 6 − 6 = 0 und nicht 5.
A3
Sonderfälle beurteilen
AFB III
Fünf Aussagen über Systeme, die keine oder unendlich viele Lösungen haben. Entscheide jeweils, ob die Aussage allgemein gilt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Der Kern: Ob ein System keine, eine oder unendlich viele Lösungen hat, hängt nur am Vergleich von m und b. Verschiedene m → genau eine Lösung. Gleiches m, verschiedenes b → keine. Gleiches m und gleiches b → unendlich viele. Die Zeilen 0 = 7 und 0 = 0 sind nur die rechnerischen Spuren dieser beiden Sonderfälle.
Wie war es?
Wie sicher fühlst du dich nach diesen 10 Aufgaben der Stufe AFB III?
