Gleichungssysteme: Übungen AFB II – Mathe Klasse 8

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Aufgabenblock — AFB II

Diese Übung deckt alle fünf Unterkapitel des Themas „Gleichungssysteme“ ab. Auf der Stufe AFB II (Zusammenhänge herstellen) reicht es nicht mehr, ein Verfahren abzuspulen: Du musst das passende Verfahren auswählen, Gleichungen erst vorbereiten und aus einem Sachtext selbst ein Gleichungssystem aufstellen. Das sind die 10 Aufgaben, an denen sich in der Klassenarbeit die Note entscheidet.

Verfahren wählen und sauber durchziehen

AFB II

I y = 2x − 1
II 3x + 4y = 18

Spiele den Lösungsweg Schritt für Schritt durch. Es geht nicht nur darum, ob du rechnen kannst — sondern ob du den kürzesten Weg erkennst.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Merksatz für die Klassenarbeit: Erst schauen, dann rechnen. Ist eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst, ist Einsetzen fast immer am schnellsten. Und die Klammer beim Einsetzen ist der Fehler Nummer eins — sie kostet mehr Punkte als jeder Rechenfehler.

Additionsverfahren mit zwei Faktoren

AFB II

I 2x + 3y = 12
II 3x − 2y = 5

Hier passt kein Koeffizientenpaar von selbst zusammen. Multipliziere beide Gleichungen passend, sodass sich die y-Glieder beim Addieren aufheben, und berechne dann x und y.

x =

y =

Ziel festlegen: Die y-Koeffizienten sind +3 und −2. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 2 ist 6 — du willst also +6y und −6y erzeugen.

Multiplizieren: Rechne I·2: 4x + 6y = 24 und II·3: 9x − 6y = 15. Achte darauf, jedes Glied zu multiplizieren, auch die rechte Seite.

Lösung: Addiert ergibt das 13x = 39, also x = 3. Eingesetzt in I: 6 + 3y = 12, also 3y = 6 und y = 2. Die Zeichnung bestätigt S (3 | 2).

Beide Gleichungen als Geraden — der Schnittpunkt ist das Ergebnis der Rechnung.

Pfandautomat

AFB II

Ein Getränkemarkt zählt die Rückgabe eines Vereins aus: insgesamt 90 Flaschen. Kleine Flaschen bringen 0,15 € Pfand, große 0,25 €. Ausgezahlt werden 17,50 €. Wie viele Flaschen waren es von jeder Sorte?

kleine Flaschen: Stück

große Flaschen: Stück

Zwei Gleichungen aufstellen: Nenne k die Anzahl der kleinen und g die der großen Flaschen. Dann gilt k + g = 90 (Stückzahl) und 0,15k + 0,25g = 17,50 (Geldwert).

Einsetzen statt raten: Stelle die erste Gleichung um: k = 90 − g. Setze das in die zweite ein: 0,15 · (90 − g) + 0,25g = 17,50.

Lösung: 13,50 − 0,15g + 0,25g = 17,50, also 0,1g = 4 und g = 40. Damit ist k = 50. Probe: 50 · 0,15 € + 40 · 0,25 € = 7,50 € + 10,00 € = 17,50 € ✓

Wie war es?

Wie sicher fühlst du dich nach diesen 10 Aufgaben der Stufe AFB II?