Aufgabenblock — AFB III
Hier geht es nicht mehr ums bloße Einsetzen — du sollst verknüpfen, begründen und beurteilen. Fast jede Aufgabe hat neben der Rechnung einen Teil, der einen Satz verlangt: eine Deutung im Sachzusammenhang, eine Fehleranalyse oder eine Aussage darüber, wie weit ein Modell überhaupt trägt. Rechne die Eingabefelder zuerst selbst, formuliere deine Begründung im Heft — und öffne erst danach die Musterlösung. Bei Bedarf helfen dir drei Stufen: Strategie, Zwischenschritt und Lösung.
Zwei Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Kerze A ist 30 cm hoch und brennt 2,5 cm pro Stunde herunter, Kerze B ist 18 cm hoch und brennt 1 cm pro Stunde herunter.
a) Nach wie vielen Stunden sind beide Kerzen gleich hoch? b) Wie hoch sind sie in diesem Moment? c) Erkläre im Musterlösungsteil, was vor und nach diesem Zeitpunkt gilt — und warum die Rechnung nur bis zum Erlöschen der ersten Kerze sinnvoll ist.
Musterlösung mit Deutung anzeigen
Modell: A(t) = 30 − 2,5·t und B(t) = 18 − 1·t, jeweils in cm, t in Stunden. Beide Steigungen sind negativ, weil die Kerzen kürzer werden.
Rechnung: 30 − 2,5t = 18 − t → 12 = 1,5t → t = 8 h, Höhe = 10 cm. Der Schnittpunkt ist S(8 | 10).
Deutung: Vor t = 8 ist Kerze A noch höher, obwohl sie schneller abbrennt — sie hatte ja den größeren Startwert. Nach t = 8 ist B höher: Die größere Abbrandrate von A holt den Startvorsprung auf und überholt ihn. Der Schnittpunkt ist der „Wechselpunkt“ der Rangfolge.
Modellgrenze: A ist nach 30 : 2,5 = 12 h vollständig abgebrannt, B erst nach 18 h. Ab t = 12 beschreibt die Gerade A negative Höhen — das ist sachlich unmöglich. Sinnvoll ist das Modell also nur für 0 ≤ t ≤ 12.
Der Punkt P(4 | −5) soll auf der Geraden liegen. Bestimme den fehlenden Parameter jeweils so, dass das stimmt.
a) y = m·x + 3 → welches m? b) y = 1,5x + b → welches b? c) Begründe, wie viele Geraden es insgesamt gibt, die durch P verlaufen.
Musterlösung mit Begründung anzeigen
a) Punktprobe als Gleichung: −5 = m·4 + 3. Beide Seiten −3: −8 = 4m, also m = −2. Die Gerade lautet y = −2x + 3. Probe: −2·4 + 3 = −8 + 3 = −5 ✓
b) −5 = 1,5·4 + b = 6 + b, also b = −11 und y = 1,5x − 11. Probe: 1,5·4 − 11 = 6 − 11 = −5 ✓
c) Begründung: Es gibt unendlich viele solche Geraden. Gibt man nämlich irgendeine Steigung m vor, so ist b durch die Gleichung −5 = m·4 + b eindeutig festgelegt: b = −5 − 4m. Zu jeder Steigung gehört also genau eine passende Gerade durch P — ein ganzes „Geradenbüschel“. Erst eine zweite Bedingung (ein zweiter Punkt oder eine vorgegebene Steigung) macht die Gerade eindeutig. Genau deshalb braucht man zum Aufstellen einer Geradengleichung immer zwei Informationen.
Gegeben sind A(−2 | −5), B(1 | 1) und C(4 | 8). Untersuche, ob alle drei Punkte auf derselben Geraden liegen.
a) Bestimme die Steigung m der Geraden durch A und B. b) Bestimme deren y-Achsenabschnitt b. c) Welchen y-Wert hätte diese Gerade an der Stelle x = 4? d) Begründe damit deine Entscheidung.
Musterlösung mit Begründung anzeigen
Gerade durch A und B: m = Δy : Δx = (1 − (−5)) : (1 − (−2)) = 6 : 3 = 2. Mit B(1|1): 1 = 2·1 + b → b = −1, also g: y = 2x − 1. Kontrolle mit A: 2·(−2) − 1 = −5 ✓
Punktprobe für C: g(4) = 2·4 − 1 = 7, C hat aber den y-Wert 8. Wegen 7 ≠ 8 liegt C nicht auf g.
Begründung: Durch die zwei Punkte A und B geht genau eine Gerade. Lägen alle drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden, so müsste diese mit g übereinstimmen — C müsste also die Gleichung von g erfüllen. Das tut C nicht, folglich liegen die drei Punkte nicht auf einer Geraden.
Zweiter Weg (schneller): Man vergleicht die Steigungen zweier Punktpaare. mAB = 6 : 3 = 2, aber mBC = (8 − 1) : (4 − 1) = 7 : 3 ≈ 2,33. Verschiedene Steigungen bei einem gemeinsamen Punkt B bedeuten: an B „knickt“ der Weg ab.
Reflexion — was hast du mitgenommen?
AFB III heißt: nicht nur rechnen, sondern erklären, warum. Du hast geübt:
- Verknüpfen — zwei Geraden gleichsetzen und den Schnittpunkt als „Wechselpunkt“ im Sachkontext deuten (Kerzen, Kletterhalle).
- Rückwärts denken — aus der Bedingung „P soll auf der Geraden liegen“ wird eine Bestimmungsgleichung für m oder b.
- Begründen statt behaupten — drei Punkte auf einer Geraden prüft man mit der Punktprobe; eine Allaussage widerlegt schon ein Gegenbeispiel.
- Beurteilen — fremde Lösungswege prüfen, Fehlerarten benennen (Vorzeichen, Folgefehler) und Ergebnisse auf Plausibilität testen.
- Modellieren und Grenzen sehen — aus Text, Bruchteil und Einheit ein Modell bauen; erkennen, ab wann eine Gerade die Wirklichkeit nicht mehr beschreibt.
In der Klassenarbeit zählt eine saubere Begründung oft genauso viel wie das richtige Ergebnis. Schreibe immer einen Antwortsatz mit Einheit — und sage dazu, in welchem Bereich dein Modell gilt.