Lineare Funktionen: Übungen AFB II – Mathe Klasse 8

Dein Fortschritt:

0 / 0 Aufgaben

Aufgabenblock — AFB II

10 Anwendungsaufgaben quer durch das Thema. Jede Aufgabe braucht mehrere Schritte und einen Übersetzungsschritt: aus dem Sachtext oder dem Graphen musst du erst m und b herausholen, bevor du rechnen kannst. Bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

Zwei Messpunkte — die Gerade rekonstruieren

AFB II

Bei einem Physikversuch werden nur zwei Messwerte notiert: P(2 | 1) und Q(6 | 9). Der Zusammenhang ist erfahrungsgemäß linear, also gilt y = m·x + b.

a) Bestimme die Steigung m. b) Bestimme den y-Achsenabschnitt b. c) Welchen y-Wert hätte die Messung bei x = 10?

a) m = —

b) b = —

c) y(10) = —

Ansatz: Steigung aus zwei Punkten: m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Danach einen der beiden Punkte in y = m·x + b einsetzen und nach b auflösen.

Rechenweg: m = (9 − 1) : (6 − 2) = 8 : 4 = 2. Einsetzen von P: 1 = 2·2 + b → 1 = 4 + b → b = −3. Damit y = 2x − 3 und y(10) = 2·10 − 3 = 17.

Lösung: m = 2, b = −3, also y = 2x − 3; y(10) = 17.

Vollständige Lösung

Zuerst die Steigung: m = Δy : Δx = (9 − 1) : (6 − 2) = 8 : 4 = 2. Dann den y-Achsenabschnitt: Man darf jeden der beiden Punkte einsetzen — mit P(2|1) folgt 1 = 2·2 + b, also b = −3. Probe mit Q: 2·6 − 3 = 9 ✓. Die Gerade lautet y = 2x − 3, damit ist y(10) = 20 − 3 = 17. Merke: Die Probe mit dem zweiten Punkt kostet 10 Sekunden und fängt fast jeden Vorzeichenfehler ab.

Gerade durch zwei Punkte

Nullstellen mit unbequemen Zahlen

AFB II

Zwei Geraden sind gegeben: g: y = 2,5x + 4 und h: y = −0,4x + 3. Beide schneiden die x-Achse — aber nicht bei glatten ganzen Zahlen.

Berechne beide Nullstellen. Gib sie als Dezimalzahl an (Komma erlaubt).

a) Nullstelle von g: x = —

b) Nullstelle von h: x = —

Ansatz: Nullstelle heißt: y = 0 setzen. Aus 0 = m·x + b folgt x = −b : m. Rechne mit Dezimalzahlen oder Brüchen von Hand.

Rechenweg: g: 0 = 2,5x + 4 → 2,5x = −4 → x = −4 : 2,5 = −1,6. h: 0 = −0,4x + 3 → 0,4x = 3 → x = 3 : 0,4 = 7,5.

Lösung: g hat die Nullstelle x = −1,6, h die Nullstelle x = 7,5.

Vollständige Lösung

Bei jeder Nullstelle setzt man y = 0 und löst die lineare Gleichung. g: 0 = 2,5x + 4 | −4 → −4 = 2,5x | :2,5 → x = −1,6. h: 0 = −0,4x + 3 | −3 → −3 = −0,4x | :(−0,4) → x = 7,5. Vorzeichencheck: g steigt und hat einen positiven y-Achsenabschnitt → die Nullstelle muss links von der y-Achse liegen, also negativ sein. h fällt und startet oberhalb → die Nullstelle liegt rechts, also positiv. Beides passt zu unseren Zahlen.

Zwei Nullstellen

Handytarif — Grundgebühr und Minutenpreis

AFB II

Ein Mobilfunktarif kostet 8,50 € Grundgebühr pro Monat. Jede Gesprächsminute wird zusätzlich mit 0,12 € berechnet. Die monatlichen Kosten K hängen von der Zahl x der Minuten ab.

a) Welchen Wert hat b in K(x) = m·x + b? b) Welchen Wert hat m? c) Wie viel zahlt Lina, wenn sie im Monat 150 Minuten telefoniert?

a) b = €

b) m = €/Min

c) K(150) = €

Ansatz: Was auch ohne jede Minute anfällt, ist der Startwert b. Was pro Minute dazukommt, ist die Steigung m. Erst die Gleichung aufstellen, dann x = 150 einsetzen.

Rechenweg: b = 8,50 € (Grundgebühr), m = 0,12 € je Minute → K(x) = 0,12·x + 8,50. K(150) = 0,12·150 + 8,50 = 18,00 + 8,50 = 26,50 €.

Lösung: b = 8,5; m = 0,12; K(150) = 26,50 €.

Vollständige Lösung

Der Sachtext liefert beide Parameter direkt: Die Grundgebühr fällt unabhängig von der Nutzung an, sie ist der y-Achsenabschnitt b = 8,5. Der Minutenpreis ist der Betrag, um den die Kosten pro zusätzlicher Minute wachsen, also die Steigung m = 0,12 (Einheit: € pro Minute). Die Funktionsgleichung lautet K(x) = 0,12x + 8,50. Für 150 Minuten: K(150) = 0,12·150 + 8,50 = 18 + 8,50 = 26,50 €. Typischer Fehler: 8,50 mit 150 zu multiplizieren — die Grundgebühr wird nur einmal addiert.

Tarifgerade K(x)

Reflexion — bevor du weitergehst

Drei Fragen zum Nachdenken — antworte für dich selbst.

1. m und b finden:Bei welcher Aufgabe hat es am längsten gedauert, bis du wusstest, welche Zahl die Steigung und welche der y-Achsenabschnitt ist? Woran hast du es am Ende erkannt?
2. Hin und zurück:Mehrere Aufgaben fragten einmal nach dem Funktionswert (x gegeben) und einmal nach dem x-Wert (y gegeben). Merkst du sicher, wann du einsetzen und wann du eine Gleichung lösen musst?
3. Einheiten:Die Steigung hieß mal „€ pro Minute“, mal „Meter pro Sekunde“. Kannst du zu jeder deiner Lösungen einen Satz sagen, der die Einheit von m erklärt?