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Terme und Gleichungen

Zehn Aufgaben zum Begründen und Beurteilen — hier zählt das Warum, nicht nur das Ergebnis.

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Aufgabenblock — AFB III

Begründen statt nur rechnen: Terme deuten, Fehler finden und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.

A1
Gleichwertige Terme
AFB III

Begründe, dass die Terme \(2(n+1)+n\) und \(3n+2\) gleichwertig sind.

Hinweis: Gleichwertig heißt: gleicher Wert für jede Zahl n.

Strategie: Den ersten Term umformen, bis er wie der zweite aussieht.Warum so? Eine Tabelle zeigt nur einzelne Werte — die Umformung gilt für alle n.
Lösungsskizze: \(2(n+1)+n=2n+2+n=3n+2\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(2(n+1)+n=2n+2+n=3n+2\). Da jede Umformung für alle Zahlen gilt, haben beide Terme für jedes n denselben Wert.

A2
Fehler finden
AFB III

Lena rechnet: \(5-(x-2)=5-x-2=3-x\). Überprüfe die Rechnung und korrigiere sie.

Hinweis: Setze zur Kontrolle eine Zahl ein, z. B. x = 2.

Strategie: Die Minusklammer genau ansehen: Welche Vorzeichen drehen sich um?Warum so? Ein Zahlenbeispiel entlarvt Fehler schnell.
Lösungsskizze: \(-(x-2)=-x+2\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Bei der Minusklammer dreht sich jedes Vorzeichen um: \(5-(x-2)=5-x+2=7-x\). Lena hat das zweite Vorzeichen nicht umgedreht. Kontrolle mit \(x=2\): \(5-0=5\), und \(7-2=5\) ✓, aber \(3-2=1\).

A3
Warum nicht mit 0 multiplizieren?
AFB III

Begründe, warum das Multiplizieren beider Seiten mit 0 keine Äquivalenzumformung ist.

Hinweis: Betrachte z. B. x + 1 = 4.

Strategie: Was wird aus jeder Gleichung, wenn man beide Seiten mit 0 multipliziert?Warum so? Äquivalenzumformungen dürfen die Lösungsmenge nicht ändern.
Lösungsskizze: \(0\cdot(x+1)=0\cdot4\Rightarrow0=0\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Aus \(x+1=4\) (Lösung 3) wird \(0=0\) — eine wahre Aussage für jede Zahl. Die Lösungsmenge ändert sich von \(\{3\}\) zu \(\mathbb{Q}\). Die Umformung lässt sich auch nicht rückgängig machen, weil man durch 0 nicht teilen darf.