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Rationale Zahlen

Zehn Aufgaben zum Begründen und Beurteilen — hier zählt das Warum, nicht nur das Ergebnis.

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Aufgabenblock — AFB III

Begründen statt nur rechnen: Aussagen prüfen, Fehler finden und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.

A1
Warum Minus mal Minus Plus ergibt
AFB III

Begründe, dass \((-1)\cdot(-1)=1\) sein muss.

Hinweis: Nutze \((-1)\cdot(1+(-1))\) und das Verteilungsgesetz.

Strategie: Denselben Term auf zwei Arten ausrechnen.Warum so? Die Rechengesetze sollen auch für negative Zahlen gelten.
Lösungsskizze: \((-1)\cdot(1+(-1))=(-1)\cdot0=0\), ausmultipliziert \(-1+(-1)\cdot(-1)\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Einerseits ist \((-1)\cdot(1+(-1))=(-1)\cdot0=0\). Andererseits liefert das Verteilungsgesetz \((-1)\cdot1+(-1)\cdot(-1)=-1+(-1)\cdot(-1)\). Beides muss gleich sein: \(-1+(-1)\cdot(-1)=0\). Also ist \((-1)\cdot(-1)\) die Gegenzahl von \(-1\), nämlich \(1\).

A2
Summe negativer Zahlen
AFB III

Überprüfe die Aussage: „Die Summe zweier negativer Zahlen ist immer negativ.“

Hinweis: Denke an die Zahlengerade.

Strategie: Beide Schritte auf der Zahlengeraden verfolgen.Warum so? Eine Begründung muss für alle Zahlen gelten, nicht nur für ein Beispiel.
Lösungsskizze: Start links von 0, dann noch weiter nach links.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Die Aussage ist wahr. Die erste Zahl liegt links von 0. Das Addieren einer negativen Zahl bedeutet, noch weiter nach links zu gehen. Das Ergebnis liegt also erst recht links von 0 — es ist negativ. Rechnerisch: Beträge addieren, Vorzeichen minus bleibt.

A3
Differenz negativer Zahlen
AFB III

Überprüfe die Aussage: „Die Differenz zweier negativer Zahlen ist immer negativ.“

Hinweis: Probiere \(-2-(-5)\).

Strategie: Ein Gegenbeispiel reicht, um eine Aussage zu widerlegen.Warum so? „Immer“ ist falsch, sobald ein Fall nicht passt.
Lösungsskizze: \(-2-(-5)=-2+5=3\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(-2-(-5)=-2+5=3\) ist positiv. Die Differenz ist nur dann negativ, wenn die erste Zahl weiter links liegt als die zweite, z. B. \(-5-(-2)=-3\).