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Zuordnungen und Dreisatz

Warum hundert Maler nicht in sechs Minuten fertig sind — zehn Aufgaben, bei denen Rechnen allein nicht reicht.

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Aufgabenblock — AFB III

Begründen statt nur rechnen: Aussagen widerlegen, Modelle beurteilen, Fehler finden und allgemein zeigen. Formuliere deine Antwort in ganzen Sätzen, bevor du die Musterlösung aufklappst.

A1
Hundert Maler
AFB III

Tom rechnet: „Ein Maler streicht die Turnhalle in 10 Stunden. Also schaffen es 100 Maler in 6 Minuten.“ Widerlegen Sie, dass diese Rechnung eine sinnvolle Antwort liefert.

Hinweis: Ist die Rechnung falsch — oder das Modell?

Strategie: Erst die Rechnung prüfen, dann die Annahme hinter dem Modell.Warum so? Mathematisch kann alles stimmen, und trotzdem passt das Modell nicht mehr zur Wirklichkeit.
Lösungsskizze: Rechnung antiproportional korrekt (\(10\,\text{h}:100=0{,}1\,\text{h}=6\,\text{min}\)) · Annahme „alle arbeiten ungestört gleich schnell“ gilt bei 100 Malern nicht · Modell hat einen Gültigkeitsbereich.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Die Rechnung selbst stimmt: Bei einer antiproportionalen Zuordnung ergibt \(10\,\text{h}:100=0{,}1\,\text{h}=6\,\text{min}\). Das Modell setzt aber voraus, dass jeder Maler ungestört gleich schnell arbeitet. 100 Maler stehen sich in der Halle im Weg, Leitern und Wandflächen reichen nicht, und Farbe muss trocknen. Das antiproportionale Modell gilt nur für wenige Maler; für 100 Maler liefert es keine sinnvolle Antwort.

A2
Lernen und Noten
AFB III

Mira sagt: „Je mehr ich lerne, desto besser wird meine Note. Also ist die Punktzahl proportional zur Lernzeit.“ Nehmen Sie Stellung.

Hinweis: Was müsste bei doppelter Lernzeit passieren?

Strategie: Die Bedingung für „proportional“ an einem Beispiel prüfen.Warum so? „Je mehr, desto mehr“ ist notwendig, aber nicht ausreichend.
Lösungsskizze: gleichsinnig ja · doppelte Lernzeit → doppelte Punkte? nein · 0 h Lernen → nicht 0 Punkte · Höchstpunktzahl begrenzt.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Der Zusammenhang ist höchstens gleichsinnig: Mehr Lernzeit führt oft zu mehr Punkten. Proportional ist er nicht. Wer 2 Stunden lernt und 20 Punkte hat, bekommt mit 4 Stunden nicht sicher 40 Punkte. Schon ohne Lernen hat man meist einige Punkte (kein Ursprung), und die Punktzahl ist nach oben begrenzt. Außerdem hängt die Note noch von anderen Dingen ab. Miras Schluss ist falsch.

A3
Großpackung oder zwei kleine?
AFB III

Müsli gibt es als Großpackung mit \(1{,}5\,\text{kg}\) für \(4{,}20\,€\) und als kleine Packung mit \(500\,\text{g}\) für \(1{,}30\,€\). Beurteilen Sie die Aussage „Die Großpackung ist immer günstiger“.

Hinweis: Gleiche Mengen vergleichen.

Strategie: Für beide Angebote den Preis pro Kilogramm berechnen.Warum so? Nur der Quotient macht verschieden große Packungen vergleichbar.
Lösungsskizze: groß: \(4{,}20:1{,}5=2{,}80\) €/kg · klein: \(1{,}30:0{,}5=2{,}60\) €/kg · kleine Packung günstiger.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Großpackung: \(4{,}20\,€:1{,}5\,\text{kg}=2{,}80\,€\) pro kg. Kleine Packung: \(1{,}30\,€:0{,}5\,\text{kg}=2{,}60\,€\) pro kg. Drei kleine Packungen (\(1{,}5\,\text{kg}\)) kosten \(3{,}90\,€\) und damit \(30\) Cent weniger. Die Aussage stimmt hier nicht — man muss immer den Preis pro Einheit vergleichen.