Dreiecke und Kongruenz: Übungen AFB III – Mathe Klasse 7

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Aufgabenblock — AFB III

Begründen statt nur rechnen: Aussagen beweisen, Fehler finden und Konstruktionen beurteilen. Formuliere deinen Begründungssatz selbst, bevor du die Musterlösung aufklappst.

Zwei rechte Winkel?

AFB III

Begründe, warum ein Dreieck nicht zwei rechte Winkel haben kann.

Strategie: Nutze die Winkelsumme.Warum so? Ein Widerspruch zur Winkelsumme zeigt, dass es so ein Dreieck nicht gibt.

Lösungsskizze: Zwei rechte Winkel ergeben schon 180°.

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Wären zwei Winkel je 90°, ergäben sie zusammen bereits 180°. Für den dritten Winkel bliebe 0° — dann gäbe es gar kein Dreieck. Also hat ein Dreieck höchstens einen rechten Winkel.

Außenwinkelsatz

AFB III

Zeige: Der Außenwinkel bei B ist so groß wie α + γ.

Hinweis: Außenwinkel = Nebenwinkel des Innenwinkels β.

Strategie: Zwei Gleichungen mit 180° aufstellen.Warum so? Beide Gleichungen enthalten β — man kann sie vergleichen.

Lösungsskizze: β′ + β = 180° und α + β + γ = 180°.

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Für den Außenwinkel β′ gilt β′ + β = 180° (Nebenwinkel). Außerdem α + β + γ = 180° (Winkelsumme). Also β′ + β = α + β + γ; subtrahiert man β, bleibt β′ = α + γ.

SsW mit Falle

AFB III

Erkläre, warum die Angaben c = 6 cm, a = 4 cm und α = 35° kein eindeutiges Dreieck festlegen.

Strategie: Konstruktion gedanklich durchspielen: Strahl in A, Kreis um B.Warum so? Wie oft kann ein Kreis einen Strahl schneiden?

Lösungsskizze: α liegt der kürzeren Seite gegenüber.

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Man zeichnet c, trägt in A den Winkel 35° an und schlägt um B einen Kreis mit r = 4 cm. Da a = 4 cm kürzer als c ist und α der kürzeren Seite gegenüberliegt, schneidet der Kreis den Strahl zweimal. Es entstehen zwei verschiedene Dreiecke — SsW gilt nur mit dem Winkel gegenüber der längeren Seite.