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Teilbarkeit

Zehn Aufgaben zum Begründen und Beurteilen — hier zählt das Warum, nicht nur das Ergebnis.

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Aufgabenblock — AFB III

Begründen statt nur rechnen: Regeln erklären, Aussagen prüfen und Gegenbeispiele finden, bevor du die Musterlösung aufklappst.

A1
Warum die Endziffern?
AFB III

Begründe, warum man für die Teilbarkeit durch 4 nur die letzten zwei Ziffern prüfen muss.

Hinweis: Zerlege z. B. 7316 = 73 · 100 + 16.

Strategie: Zahl in Hunderter und Rest zerlegen.Warum so? So sieht man, welcher Teil immer durch 4 teilbar ist.
Lösungsskizze: 100 = 4 · 25, also ist jedes Vielfache von 100 durch 4 teilbar.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Jede Zahl lässt sich schreiben als h · 100 + e, wobei e die Zahl aus den letzten zwei Ziffern ist. Weil 100 = 4 · 25 ist, ist h · 100 immer durch 4 teilbar. Ob die ganze Zahl durch 4 teilbar ist, hängt deshalb nur noch von e ab.

A2
Quersumme begründen
AFB III

Begründe am Beispiel 738, warum die Quersummenregel für 9 funktioniert.

Hinweis: Nutze 100 = 99 + 1 und 10 = 9 + 1.

Strategie: Stellenwerte als Neuner-Block plus 1 schreiben.Warum so? Neuner-Blöcke sind immer durch 9 teilbar.
Lösungsskizze: 738 = 7 · 99 + 3 · 9 + (7 + 3 + 8).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: 738 = 7 · 100 + 3 · 10 + 8 = 7 · (99 + 1) + 3 · (9 + 1) + 8 = (7 · 99 + 3 · 9) + (7 + 3 + 8). Der erste Teil ist durch 9 teilbar. Also entscheidet der Rest 7 + 3 + 8 = 18 — die Quersumme. 18 ist durch 9 teilbar, also auch 738 (738 : 9 = 82).

A3
Ungerade = prim?
AFB III

Beurteile die Aussage: „Jede ungerade Zahl größer als 1 ist eine Primzahl.“

Hinweis: Suche ein Gegenbeispiel.

Strategie: Ungerade Zahlen der Reihe nach prüfen.Warum so? Ein einziges Gegenbeispiel widerlegt eine allgemeine Aussage.
Lösungsskizze: 9 = 3 · 3, 15 = 3 · 5, 21 = 3 · 7.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Die Aussage ist falsch. 9 ist ungerade, hat aber die Teiler 1, 3 und 9 — also mehr als zwei Teiler. Richtig ist nur die Umkehrung für Zahlen über 2: Jede Primzahl größer als 2 ist ungerade.