Flächen und Körper: Übungen AFB III – Mathe Klasse 6

Dein Fortschritt:

0 / 0 Aufgaben

Aufgabenblock — AFB III

Begründen statt nur rechnen: rückwärts arbeiten, Strukturen erkennen und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst. Schreib deine Antwort zuerst ins Heft — in ganzen Sätzen, so wie in der Klassenarbeit.

Trickaufgabe: Mehr Umfang, mehr Fläche?

AFB III

Mia behauptet: „Von zwei Rechtecken hat immer das mit dem größeren Umfang auch den größeren Flächeninhalt.“ Widerlege Mias Behauptung.

Hinweis: Ein einziges passendes Beispiel reicht. Denke an ein sehr langes, schmales Rechteck.

Strategie: Vergleiche ein langes, schmales Rechteck mit einem Quadrat. Berechne jeweils \(U\) und \(A\).Warum so? Eine „immer“-Aussage ist schon falsch, wenn sie in einem einzigen Fall nicht stimmt.

Lösungsskizze: \(10\text{ cm}\times 1\text{ cm}\): \(U = 22\) cm, \(A = 10\text{ cm}^2\). \(5\text{ cm}\times 5\text{ cm}\): \(U = 20\) cm, \(A = 25\text{ cm}^2\).

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Das Rechteck mit 10 cm und 1 cm hat den Umfang \(2\cdot 10 + 2\cdot 1 = 22\) cm und den Flächeninhalt 10 cm². Das Quadrat mit 5 cm Seitenlänge hat nur den Umfang 20 cm, aber den Flächeninhalt 25 cm². Das Rechteck mit dem größeren Umfang hat also die kleinere Fläche. Damit ist Mias Behauptung widerlegt. Umfang und Flächeninhalt sind verschiedene Größen, die man nicht aus einander ablesen kann.

Zwei rechte Winkel im Dreieck?

AFB III

Beurteile die Aussage: „Ein Dreieck kann zwei rechte Winkel haben.“

Hinweis: Was bleibt für den dritten Winkel übrig? Stelle dir die Zeichnung vor.

Strategie: Nutze die Winkelsumme im Dreieck und überlege zusätzlich, wie die Seiten dann verlaufen würden.Warum so? Ein Urteil braucht einen Grund aus einer Regel — hier die Winkelsumme 180°.

Lösungsskizze: \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\) → für den dritten Winkel bleiben 0°. Zwei Seiten stünden senkrecht auf derselben Seite → sie wären parallel und träfen sich nie.

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Im Dreieck gilt \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\). Wären zwei Winkel je 90°, dann wären das schon 180°, und für den dritten Winkel bliebe 0° — das ist kein Winkel eines Dreiecks. Man sieht es auch an der Zeichnung: Zwei Seiten, die beide senkrecht auf der Grundseite stehen, sind parallel und schneiden sich nie; die dritte Ecke entsteht gar nicht. Ein Dreieck hat also höchstens einen rechten (oder stumpfen) Winkel.

Warum 360° im Viereck?

AFB III

Begründe, dass die Innenwinkel in jedem Viereck zusammen 360° ergeben. Übertrage deine Idee anschließend auf ein Fünfeck.

Hinweis: Du kennst schon die Winkelsumme im Dreieck. Wie wird aus einem Viereck ein Dreieck?

Strategie: Zeichne eine Diagonale ein. Sie zerlegt das Viereck in Dreiecke.Warum so? So führst du das Neue (Viereck) auf etwas Bekanntes (Dreieck) zurück.

Lösungsskizze: Viereck = 2 Dreiecke → \(2\cdot 180^\circ = 360^\circ\). Fünfeck: zwei Diagonalen von einer Ecke → 3 Dreiecke → \(3\cdot 180^\circ = 540^\circ\).

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Die Diagonale AC zerlegt das Viereck ABCD in die Dreiecke ABC und ACD. In jedem Dreieck ist die Winkelsumme 180°. Die Winkel der beiden Dreiecke setzen sich genau zu den vier Innenwinkeln des Vierecks zusammen (bei A und C werden zwei Teilwinkel addiert). Also ist die Winkelsumme im Viereck \(2\cdot 180^\circ = 360^\circ\) — bei jedem Viereck, denn die Zerlegung klappt immer. Beim Fünfeck zerlegen zwei Diagonalen von einer Ecke aus die Figur in drei Dreiecke: \(3\cdot 180^\circ = 540^\circ\).

Die Diagonale AC zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke