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Brüche und Dezimalzahlen

Zehn Aufgaben zum Begründen und Beurteilen — hier zählt das Warum, nicht nur das Ergebnis.

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Aufgabenblock — AFB III

Begründen statt nur rechnen: Regeln erklären, Fehler aufdecken, Angebote bewerten. Schreib deine Antwort erst in ganzen Sätzen auf, bevor du die Musterlösung aufklappst.

A1
Warum ändert Erweitern nichts?
AFB III

Begründe, warum \(\tfrac{2}{3}\) und \(\tfrac{8}{12}\) denselben Anteil beschreiben, obwohl die Zahlen größer werden.

Hinweis: Denke an einen Streifen, dessen Teile du zerschneidest.

Strategie: Ein Bild zeichnen und überlegen, was mit den Teilen und den gefärbten Teilen passiert.Warum so? Eine Begründung mit einem Bild ist für jeden nachvollziehbar.
Lösungsskizze: Jedes Drittel in 4 Stücke schneiden: 3 · 4 = 12 Teile, 2 · 4 = 8 gefärbt; die Fläche bleibt gleich.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Beim Erweitern mit 4 wird jedes der 3 Teile in 4 gleich große Stücke geschnitten. Aus 3 Teilen werden 12, aus den 2 gefärbten Teilen werden 8 gefärbte. Die gefärbte Fläche selbst ändert sich dabei nicht — nur die Einteilung wird feiner. Deshalb ist \(\tfrac23=\tfrac{2\cdot4}{3\cdot4}=\tfrac{8}{12}\).

A2
Macht Malnehmen immer größer?
AFB III

Widerlege die Aussage: „Wenn man multipliziert, wird das Ergebnis immer größer.“

Hinweis: Ein einziges Gegenbeispiel reicht.

Strategie: Einen Faktor wählen, der kleiner als 1 ist.Warum so? Eine Allaussage ist falsch, sobald es ein Beispiel gibt, für das sie nicht stimmt.
Lösungsskizze: 6 · \(\tfrac{1}{2}\) = 3 < 6; 0,5 · 0,4 = 0,2 < 0,4.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(6\cdot\tfrac12=3\), und 3 ist kleiner als 6. Ebenso ist 0,5 · 0,4 = 0,2 kleiner als beide Faktoren. Ist ein Faktor kleiner als 1, nimmt man nur einen Teil der anderen Zahl — das Ergebnis wird kleiner. Nur bei Faktoren größer als 1 wird es größer.

A3
Tims Bruchaddition
AFB III

Tim rechnet \(\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{2}{5}\). Beurteile seine Rechnung.

Hinweis: Vergleiche das Ergebnis mit dem ersten Summanden.

Strategie: Das Ergebnis auf Plausibilität prüfen und dann richtig rechnen.Warum so? Eine Summe zweier positiver Zahlen muss größer sein als jeder Summand.
Lösungsskizze: \(\tfrac{2}{5}\) < \(\tfrac{1}{2}\) — unmöglich. Richtig: \(\tfrac36+\tfrac26=\tfrac56\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Tims Ergebnis ist falsch. Er hat Zähler und Nenner einzeln addiert. Das kann nicht stimmen: \(\tfrac{2}{5}\) ist sogar kleiner als \(\tfrac{1}{2}\), obwohl noch etwas dazukommt. Richtig ist: gleichnamig machen, \(\tfrac12+\tfrac13=\tfrac36+\tfrac26=\tfrac56\). Der Nenner gibt nur die Teilgröße an und wird nicht addiert.