Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Aussagen prüfen, Fehler finden, ein Vorgehen entwickeln und eigene Begründungen formulieren — erst selbst aufschreiben, dann die Musterlösung aufklappen.
Beurteile die Aussage: „Zwei Rechtecke mit demselben Umfang haben auch denselben Flächeninhalt.“
Hinweis: Probiere Rechtecke mit dem Umfang 20 cm aus.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Ein Rechteck mit 9 cm und 1 cm hat \(u=2\cdot9+2\cdot1=20\) cm und \(A=9\ \text{cm}^2\); ein Quadrat mit 5 cm Seite hat ebenfalls \(u=20\) cm, aber \(A=25\ \text{cm}^2\). Umfang und Flächeninhalt sind verschiedene Größen. Bei gleichem Umfang hat das Quadrat den größten Flächeninhalt.
Begründe, warum ein Quadrat mit doppelter Seitenlänge den vierfachen Flächeninhalt hat.
Hinweis: Lege das große Quadrat mit kleinen Quadraten aus.
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Musterlösung: Verdoppelt man die Seite, werden sowohl die Anzahl der Kästchen je Reihe als auch die Anzahl der Reihen doppelt so groß. Damit sind es \(2\cdot2=4\)-mal so viele Kästchen: \((2a)\cdot(2a)=4\cdot a\cdot a\). Beispiel: 2 cm → 4 cm², 4 cm → 16 cm².
Ein Würfel hat die Kante 2 cm. Untersuche, wie sich Oberfläche und Volumen ändern, wenn die Kante verdoppelt wird.
Hinweis: Rechne beide Würfel aus und vergleiche.
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Musterlösung: Für \(a=2\) cm: \(O=6\cdot4=24\ \text{cm}^2\), \(V=8\ \text{cm}^3\). Für \(a=4\) cm: \(O=6\cdot16=96\ \text{cm}^2\), \(V=64\ \text{cm}^3\). Die Oberfläche wird 4-mal, das Volumen sogar 8-mal so groß — in jede Richtung passen doppelt so viele Würfel: \(2\cdot2\cdot2=8\).