Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Netze prüfen, Fehler finden, eigene Figuren entwerfen und Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Im Heft steht: „Jeder Würfel ist ein Quader, aber nicht jeder Quader ist ein Würfel.“ Begründe beide Teile dieser Aussage.
Hinweis: Vergleiche, was für einen Quader verlangt wird und was ein Würfel zusätzlich erfüllen muss.
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Musterlösung: Ein Quader hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 rechteckige Flächen, von denen gegenüberliegende gleich groß sind. Ein Würfel erfüllt all das: Seine 6 Quadrate sind besondere Rechtecke, und alle 12 Kanten sind gleich lang. Also ist jeder Würfel ein Quader. Umgekehrt muss beim Würfel jede Kante gleich lang sein. Ein Schuhkarton mit 30 cm, 20 cm und 12 cm ist ein Quader, aber kein Würfel. Deshalb ist nicht jeder Quader ein Würfel.
Paul hat die abgebildete Figur aus sechs Quadraten ausgeschnitten und sagt: „Sechs gleiche Quadrate — das ist ein Würfelnetz.“ Überprüfe Pauls Aussage.
Hinweis: Falte in Gedanken: Die Reihe 1–2–3–4 wird zum Mantel rundherum. Wohin klappen 5 und 6?
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Musterlösung: Pauls Aussage ist falsch. Sechs gleiche Quadrate sind nötig, reichen aber nicht. Faltet man die Reihe 1–2–3–4 zu den vier Seitenwänden, klappen die Quadrate 5 und 6 beide auf dieselbe Seite nach oben. Sie liegen dann doppelt als Deckel übereinander, und unten bleibt ein Loch. Ein Würfelnetz braucht an der Viererreihe genau ein Quadrat oben und eines unten.
Die Figur besteht aus fünf Quadraten. Ein sechstes Quadrat soll so angelegt werden, dass ein Würfelnetz entsteht. Lege dich fest, an welchen Stellen das möglich ist, und begründe, warum alle anderen Stellen nicht gehen.
Hinweis: D ist schon der Deckel. Welche Fläche des Würfels fehlt noch?
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Musterlösung: Die Reihe 1–2–3–4 bildet die vier Seitenwände, D wird der Deckel. Es fehlt nur noch der Boden. Den Boden bekommt man, wenn man das sechste Quadrat unter eines der Quadrate 1, 2, 3 oder 4 legt — das sind 4 mögliche Stellen. Legt man es über 1, 3 oder 4, entsteht ein zweiter Deckel. Links von 1 oder rechts von 4 entsteht eine fünfte Seitenwand, die über Wand 4 bzw. Wand 1 liegt. Legt man es über D, klappt es auf die Seitenwand 4, die schon belegt ist. Alle diese Stellen ergeben kein Würfelnetz.