Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Aussagen prüfen, Fehler finden und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe, warum jede Zahl, die durch 9 teilbar ist, auch durch 3 teilbar ist.
Hinweis: Nutze \(9=3\cdot3\) oder die Quersummenregeln.
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Musterlösung: Ist \(n\) durch 9 teilbar, gilt \(n=9\cdot k\) für eine natürliche Zahl \(k\). Wegen \(9=3\cdot3\) ist \(n=3\cdot(3k)\) — also ein Vielfaches von 3. Mit der Quersumme: Ist sie durch 9 teilbar, dann auch durch 3. Umgekehrt gilt es nicht: 12 ist durch 3, aber nicht durch 9 teilbar.
Beurteile die Aussage: „Das kgV zweier Zahlen ist immer ihr Produkt.“
Hinweis: Teste 4 und 6 sowie 4 und 5.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Das Produkt ist zwar immer ein gemeinsames Vielfaches, aber nicht immer das kleinste: \(\text{kgV}(4,6)=12\), \(4\cdot6=24\). Gleich sind sie nur, wenn die Zahlen teilerfremd sind, z. B. \(\text{kgV}(4,5)=20\).
Erläutere mit einer Skizze, warum \(\tfrac34=\tfrac68\) ist.
Hinweis: Zeichne ein Rechteck in Viertel und teile jedes Viertel noch einmal.
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Musterlösung: Ein Rechteck wird in 4 gleiche Teile zerlegt, 3 werden gefärbt. Halbiert man jedes Teil, entstehen 8 gleiche Teile, gefärbt sind jetzt 6. Die gefärbte Fläche ist dieselbe geblieben — also \(\tfrac34=\tfrac{3\cdot2}{4\cdot2}=\tfrac68\).