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Stochastik

Zehn Aufgaben aus Kapitel 6 auf dem Anforderungsbereich III — konstruieren, begründen und Ergebnisse beurteilen.

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III

Übungsaufgaben — AFB III

Zehn Aufgaben auf dem Anforderungsbereich III: verallgemeinern, begründen, beurteilen. Fünf davon sind Applets, in denen Sie selbst konstruieren oder Fehler aufdecken; die fünf Textaufgaben verlangen zusammenhängende Begründungen. Die Musterlösungen sind ausführlich — lesen Sie sie erst, wenn Sie einen eigenen Ansatz notiert haben.

A1Einen Datensatz nach Vorgaben bauenAFB III

Konstruieren Sie eine Datenreihe aus sechs Messwerten mit dem arithmetischen Mittel \(\bar x = 10\) und der Spannweite \(S_w = 12\). Es gibt viele Lösungen — Sie brauchen nur eine.

Der Mittelwert wird nach jeder Änderung neu berechnet.

Klick auf den Zahlenstrahl setzt einen Messwert, Klick auf einen Punkt wählt ihn aus. Mit der Tastatur: Tab auf einen Punkt, ←/→ verschiebt ihn, Entf löscht ihn.

Die sechs Werte müssen zusammen \(6 \cdot 10 = 60\) ergeben und dabei genau 12 auseinanderliegen. Eine mögliche Lösung ist \(4;\;6;\;10;\;12;\;12;\;16\): Summe 60, \(S_w = 16-4 = 12\). Der Trick ist, zuerst die beiden Randwerte festzulegen (ihre Differenz muss 12 sein) und dann die restlichen vier so zu wählen, dass die Gesamtsumme stimmt. Dass es viele Lösungen gibt, ist die eigentliche Erkenntnis: Mittelwert und Spannweite legen eine Datenreihe nicht fest.
A2Warum der Median unempfindlicher istAFB III

Gegeben ist die Datenreihe 12; 14; 15; 16; 18. Der letzte Wert wird nun durch 118 ersetzt.

Untersuchen Sie, wie sich Median und arithmetisches Mittel dabei verändern, und begründen Sie allgemein, warum der Median gegen einzelne Ausreißer unempfindlich ist.

Bestimmen Sie zuerst Median und Mittelwert der ursprünglichen Reihe, dann beide Werte für die veränderte Reihe. Erst danach begründen.
Die Mittelwertformel benutzt jeden einzelnen Zahlenwert. Die Medianbestimmung benutzt nur die Position in der Rangliste. Überlegen Sie, was passiert, wenn sich ein Randwert vergrößert, ohne die Reihenfolge zu ändern.
Ein tragfähiger Satz beginnt so: „Solange der veränderte Wert der größte bleibt, ändert sich seine Position in der Rangliste nicht, also …“
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Ursprüngliche Reihe 12; 14; 15; 16; 18: Median \(= 15\); \(\bar x = \tfrac{75}{5} = 15\). Beide Kennzahlen stimmen hier überein.

Veränderte Reihe 12; 14; 15; 16; 118: Median \(= 15\) — unverändert; \(\bar x = \tfrac{175}{5} = 35\) — mehr als verdoppelt.

Begründung: Das arithmetische Mittel wird aus der Summe aller Werte gebildet. Jeder einzelne Zahlenwert geht mit seiner vollen Größe ein; wächst ein Wert um 100, wächst die Summe um 100 und der Mittelwert um \(\tfrac{100}{n}\). Der Median dagegen entsteht allein aus der Reihenfolge: Er ist der Wert an der mittleren Position. Solange ein Ausreißer der größte (oder der kleinste) Wert bleibt, ändert sich keine Position in der Rangliste — der Median bleibt exakt gleich, egal wie extrem der Ausreißer ist.

Folgerung für die Praxis: Bei stark unsymmetrischen Verteilungen — Einkommen, Mietpreise, Wartezeiten — ist der Median die ehrlichere Auskunft über den „typischen“ Wert. Das arithmetische Mittel wird trotzdem gebraucht, etwa wenn es auf die Gesamtsumme ankommt (Gesamtverbrauch, Gesamteinnahmen).

A3Fehlersuche in einer VarianzrechnungAFB III

Eine Schülerin berechnet die Standardabweichung der Werte 2; 6; 7; 9.

Finden Sie alle fehlerhaften Zeilen und erklären Sie, worauf der erste Fehler zurückgeht.

Klicke die Zeilen an, in denen ein Fehler steckt.
Ein einziger Fehler in Zeile 3 pflanzt sich durch die ganze Rechnung fort. Zwei Kontrollen hätten ihn sofort verraten: Erstens ist die Summe der unquadrierten Abweichungen immer 0, zweitens kann \(s = 0\) nur herauskommen, wenn alle Werte identisch sind. Richtig gerechnet: \(s^2 = \tfrac{16+0+1+9}{4} = 6{,}5\) und \(s = \sqrt{6{,}5} \approx 2{,}55\).
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