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Fünf-Punkte-Zusammenfassung

Dreißig Aufgaben zu Rangliste und fünf Punkten — Quartile berechnen, Anteile bestimmen und fehlende Kennwerte rückwärts rekonstruieren.

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Übungsaufgaben

Dreißig Aufgaben zur Fünf-Punkte-Zusammenfassung. Der Schwerpunkt liegt auf dem Rechnen: Median und Quartile aus Ranglisten und aus Häufigkeitstabellen bestimmen, Spannweite und Boxbreite berechnen, aus Anteilen auf Anzahlen schließen und aus Teilangaben die fehlenden Kennwerte rekonstruieren. Die Aufgaben sind nach AFB I bis III gemischt; jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken weiter auf.

A1Die Rangliste bildenAFB I

An sieben Tagen wurde die Mittagstemperatur gemessen, \([\vartheta] = {}^{\circ}\mathrm{C}\): 12,4 · 9,8 · 15,7 · 12,04 · 9,75 · 16,2 · 15,1

Ordnen Sie die Messwerte zur Rangliste \(x_1 \le x_2 \le \dots \le x_7\). Achten Sie besonders auf die Stellen hinter dem Komma.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
19,75
29,8
312,04
412,4
515,1
615,7
716,2
Vor jedem Kennwert steht das Sortieren. Die Stolperstellen sind 9,75 < 9,8 (Hundertstel gegen Zehntel) und 12,04 < 12,4. Ergänzt man gedanklich Nullen — 9,75 gegen 9,80 und 12,04 gegen 12,40 —, ist die Reihenfolge eindeutig. An dieser Rangliste wären Minimum \(9{,}75\,{}^{\circ}\mathrm{C}\), Median \(12{,}4\,{}^{\circ}\mathrm{C}\) und Maximum \(16{,}2\,{}^{\circ}\mathrm{C}\) abzulesen.
A2Rechenkette: die fünf Punkte bei ungeradem \(n\)AFB I

Elf Kundinnen und Kunden wurden nach ihrer Wartezeit an der Kasse gefragt, \([t] = \mathrm{min}\). Die Rangliste lautet 3; 5; 6; 6; 8; 9; 11; 12; 14; 15; 21.

Bestimmen Sie Schritt für Schritt Median, unteres und oberes Quartil.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
  1. Stichprobenumfang \(n=\;?\)
  2. \(n\) ist ungerade. Der wievielte Wert der Rangliste ist der Median?
  3. Wie groß ist der Median \(x_{\mathrm{Med}}\) in Minuten?
  4. Der Median wird weggelassen. Wie viele Werte enthält dann die untere Hälfte?
  5. Untere Hälfte: 3; 5; 6; 6; 8. Wie groß ist \(Q_1\)?
  6. Obere Hälfte: 11; 12; 14; 15; 21. Wie groß ist \(Q_3\)?
  7. Wie breit ist die Box, also \(Q_3-Q_1\)?
Bei ungeradem \(n\) ist der Median selbst ein Wert der Rangliste und gehört zu keiner der beiden Hälften. Beide Hälften enthalten hier fünf Werte, ihr Median ist jeweils der dritte. Die fünf Punkte lauten also 3 · 6 · 9 · 14 · 21 Minuten, die Spannweite beträgt \(21\,\mathrm{min}-3\,\mathrm{min}=18\,\mathrm{min}\).
A3Die Begriffe im ZusammenhangAFB I

Sechs Bausteine, sechs Lücken. Vervollständigen Sie die Beschreibung des Verfahrens.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Alle fünf Punkte werden an der abgelesen, also an der der Größe nach sortierten Datenreihe. In ihrer Mitte steht der ; er zerlegt sie in zwei gleich große Hälften. Das untere Quartil \(Q_1\) ist der Median der Hälfte, das obere Quartil \(Q_3\) der Median der . Zwischen je zwei benachbarten der fünf Punkte liegen etwa aller Werte. Die Differenz aus Maximum und Minimum heißt .

Wichtig ist die Reihenfolge: erst sortieren, dann halbieren, dann in jeder Hälfte noch einmal den Median bilden. Die Quartile sind also keine neuen Rechenvorschriften, sondern zweimal dieselbe Medianregel.