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Übung — AFB III
Zehn Aufgaben zum Verallgemeinern und Begründen: Parameter bestimmen, Aussagen auf ihren Gültigkeitsbereich prüfen, Formeln herleiten und Sachsituationen modellieren. Die Rechenwege sind länger, die Zwischenschritte stehen nicht mehr im Aufgabentext — dafür gibt es zu jeder Rechenaufgabe drei gestufte Hilfen.
A1Den Funktionsterm zusammensetzenAFB III
Eine Parabel hat den Scheitelpunkt \(S(-2\,|\,5)\) und den Streckfaktor \(a=-3\).
Setzen Sie den zugehörigen Funktionsterm in Scheitelform aus den Bausteinen zusammen.
Setze den Term von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Die Scheitelform lautet \(f(x)=a(x-d)^2+e\) mit \(S(d\,|\,e)\). Für \(d=-2\) steht in der Klammer \(x-(-2)=x+2\) — das Vorzeichen dreht sich also um, während \(e=5\) unverändert als \(+5\) angehängt wird. Genau diese Asymmetrie ist die häufigste Fehlerquelle.
A2Parameter mit genau einer NullstelleAFB III
Gegeben ist \(f(x)=x^2+ax+9\) mit \(a>0\).
Bestimmen Sie den Wert von \(a\), für den \(f\) genau eine Nullstelle besitzt.
Genau eine Nullstelle bedeutet: Der Ausdruck unter der Wurzel wird null.
Mit der \(p\)-\(q\)-Formel ist \(x_{1,2}=-\dfrac{a}{2}\pm\sqrt{\dfrac{a^2}{4}-9}\). Setzen Sie den Radikanden gleich null.
Aus \(\dfrac{a^2}{4}=9\) folgt \(a^2=36\), also \(a=6\) oder \(a=-6\). Verlangt ist der positive Wert.
Lösung anzeigen
\(\dfrac{a^2}{4}-9=0\Rightarrow a^2=36\Rightarrow a=\pm 6\); wegen \(a>0\) ist a = 6. Der Term lautet dann \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) — ein vollständiges Quadrat, dessen Scheitel genau auf der x-Achse liegt.
A3Wie viele Lösungen hat dieses System?AFB III
Gegeben ist das System \(2x+3y=6\) und \(4x+6y=12\).
Beantworten Sie die Fragen des Entscheidungsbaums für genau dieses System.
Beantworte die Fragen nacheinander mit „Ja“ oder „Nein“. Am Ende steht das Ergebnis — stimmt es für den gegebenen Fall?
Die zweite Gleichung entsteht aus der ersten durch Verdopplung — und zwar vollständig, also auch auf der rechten Seite (\(2\cdot 6=12\)). Damit steht dieselbe Gerade zweimal da. Beim Einsetzungsverfahren erkennt man das an der wahren Aussage \(0=0\); bliebe rechts eine andere Zahl, käme \(0=k\) mit \(k\neq 0\) heraus — und das System wäre unlösbar.