Ganzrationale Funktionen: Übungen AFB III – Mathe Klasse 11

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Aufgabenblock — AFB III

AFB III

Zehn Aufgaben, bei denen es nicht mehr um ein einzelnes Ergebnis geht, sondern um Verallgemeinern, Begründen und Beurteilen: Scharen mit Parameter, allgemeine Symmetriebeweise, die Frage nach dem Gültigkeitsbereich eines Modells und die Prüfung fremder Aussagen. Fünf Aufgaben sind interaktiv, fünf sind anspruchsvolle Textaufgaben im Klausurformat.

1Welches Verfahren führt zum Ziel?AFB III

Gegeben ist \(f(x)=2x^{5}-16x^{3}+32x\). Beantworten Sie die Fragen des Entscheidungsbaums für diese Funktion, bis Sie beim passenden Verfahren ankommen.

Beantworte die Fragen mit „Ja“ oder „Nein“, bis du bei einem Ergebnis landest. Mit „Neu“ startest du den Baum noch einmal.

\(f(x)=2x\left(x^{4}-8x^{2}+16\right)\). Die Restklammer ist biquadratisch: \(z^{2}-8z+16=0\) mit \(D=0\) und \(z=4\), also \(x=\pm 2\). Ausgeschrieben ist \(f(x)=2x\left(x^{2}-4\right)^{2}=2x(x-2)^{2}(x+2)^{2}\) — die Nullstellen \(\pm 2\) sind doppelt, die Null einfach. Summe der Vielfachheiten: \(1+2+2=5=\) Grad.

2Eine Funktionenschar und ihre NullstellenAFB III

Gegeben ist die Funktionenschar \(f_{k}(x)=x^{3}-kx\) mit \(k\in\mathbb{R}\).

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \(k\) alle Nullstellen von \(f_{k}\).
Untersuchen Sie, für welche \(k\) die Funktion genau eine und für welche sie genau drei verschiedene Nullstellen besitzt.
Beurteilen Sie die Aussage: „Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat immer drei Nullstellen.“

Hinweis 1 — Ansatz

Klammern Sie \(x\) aus. Der zweite Faktor führt auf \(x^{2}=k\) — und ob diese Gleichung lösbar ist, hängt vom Vorzeichen von \(k\) ab.

Hinweis 2 — Durchführung

Unterscheiden Sie sauber die drei Fälle \(k>0\), \(k=0\) und \(k<0\). Für Teil c) genügt ein einziges Gegenbeispiel.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f_{k}(x)=x^{3}-kx=x\left(x^{2}-k\right)\)

Satz vom Nullprodukt: \(x_{1}=0\) oder \(x^{2}=k\).

Für \(k>0\): \(x_{2,3}=\pm\sqrt{k}\).

Für \(k=0\): \(x^{2}=0\) liefert erneut \(x=0\) — keine neue Stelle.

Für \(k<0\): \(x^{2}=k\) hat keine reelle Lösung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Genau drei verschiedene Nullstellen für \(k>0\): \(-\sqrt{k}\), \(0\) und \(\sqrt{k}\).

Genau eine Nullstelle für \(k\leq 0\): Bei \(k<0\) bleibt nur \(x=0\); bei \(k=0\) ist \(f_{0}(x)=x^{3}\) mit der dreifachen Nullstelle \(x=0\) — als Stelle ebenfalls nur eine.

Zwei verschiedene Nullstellen kommen in dieser Schar nicht vor.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(k=-1\) liefert \(f_{-1}(x)=x^{3}+x=x\left(x^{2}+1\right)\) mit der einzigen Nullstelle \(x=0\), denn \(x^{2}+1>0\) für alle \(x\).

Richtig ist: Der Grad 3 gibt nur eine Obergrenze an — höchstens drei. Weil der Grad ungerade ist, gibt es zugleich mindestens eine Nullstelle. Zwischen eins und drei ist alles möglich.

Zählt man Vielfachheiten mit und lässt auch nicht-reelle Lösungen zu, sind es stets genau drei — das ist aber eine andere Aussage als die im Zitat.

3Woraus folgt was?AFB III

Über eine ganzrationale Funktion sind nur der Grad und der Leitkoeffizient bekannt. Ordnen Sie jede Frage danach ein, welche Information zu ihrer Beantwortung reicht.

Ordne jede Karte einem der Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann die Ziffer des Bereichs, 0 zurück.

1 der Grad allein genügt

2 der Leitkoeffizient allein genügt

3 man braucht beides

Das rechte Ende folgt allein aus dem Vorzeichen von \(a_{n}\), denn \(x^{n}\) ist für große positive \(x\) immer positiv. Das linke Ende braucht zusätzlich die Parität des Grades, weil \((-x)^{n}\) je nach \(n\) das Vorzeichen wechselt. Und die reinen Anzahl-Aussagen — Obergrenze \(n\), Mindestanzahl 1 bei ungeradem Grad — hängen überhaupt nicht am Leitkoeffizienten.