Ganzrationale Funktionen: Übungen AFB II – Mathe Klasse 11

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Aufgabenblock — AFB II

AFB II

Zehn Aufgaben, die zwei oder drei Bausteine des Kapitels verbinden: normieren und die pq-Formel anwenden, ausklammern und substituieren, Symmetrie und Nullstellen zusammendenken, aus einem Steckbrief eine Funktion rekonstruieren. Auf dieser Stufe zählt der Zusammenhang — nicht mehr die einzelne Formel. Fünf Aufgaben sind interaktiv, fünf sind Textaufgaben im Klausurformat.

1Vier Eigenschaften auf einen BlickAFB II

Kreuzen Sie in jeder Zeile alle Eigenschaften an, die auf die Funktion zutreffen. Es können mehrere pro Zeile sein — oder auch keine.

Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.

\(f(x)\)	achsensym. zur \(y\)-Achse	punktsym. zum Ursprung	beide Enden nach oben	hat mind. eine Nullstelle
\(f(x)=x^{4}-4x^{2}\)
\(f(x)=x^{3}-x\)
\(f(x)=-x^{4}+1\)
\(f(x)=x^{2}+1\)
\(f(x)=x^{3}+x^{2}\)

\(x^{2}+1\) ist die einzige Funktion ohne Nullstelle: \(x^{2}=-1\) hat keine reelle Lösung. \(-x^{4}+1\) hat zwar nur gerade Exponenten, aber wegen \(a_{4}<0\) zeigen beide Enden nach unten. Und \(x^{3}+x^{2}\) mischt gerade und ungerade Exponenten — damit fällt jede Symmetrie weg.

2Erst normieren, dann pq-FormelAFB II

Gegeben sind \(f(x)=2x^{2}-10x+12\), \(g(x)=-3x^{2}+12x-9\) und \(h(x)=x^{2}-6x+11\).

Berechnen Sie die Nullstellen von \(f\).
Berechnen Sie die Nullstellen von \(g\).
Untersuchen Sie \(h\) auf Nullstellen und deuten Sie das Ergebnis am Graphen.

Hinweis 1 — Ansatz

Die pq-Formel gilt nur für die Normalform \(x^{2}+px+q=0\). Der erste Blick gehört deshalb dem Faktor vor \(x^{2}\) — steht dort nicht die 1, wird die ganze Gleichung durch diesen Faktor geteilt.

Hinweis 2 — Durchführung

Die Diskriminante \(D=\left(\tfrac{p}{2}\right)^{2}-q\) entscheidet vorab: \(D>0\) zwei Nullstellen, \(D=0\) genau eine, \(D<0\) keine reelle.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(0=2x^{2}-10x+12\;|:2\) → \(0=x^{2}-5x+6\), also \(p=-5\), \(q=6\).

\(D=\left(-2{,}5\right)^{2}-6=6{,}25-6=0{,}25\), also \(\sqrt{D}=0{,}5\).

\(x_{1,2}=2{,}5\pm 0{,}5\) → \(x_{1}=3\), \(x_{2}=2\).

Probe: \(2\cdot 9-30+12=0\) und \(2\cdot 4-20+12=0\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(0=-3x^{2}+12x-9\;|:(-3)\) → \(0=x^{2}-4x+3\), also \(p=-4\), \(q=3\).

\(D=(-2)^{2}-3=4-3=1\), also \(\sqrt{D}=1\).

\(x_{1,2}=2\pm 1\) → \(x_{1}=3\), \(x_{2}=1\).

Das Teilen durch eine negative Zahl ändert die Lösungsmenge nicht, denn \(0:(-3)=0\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(h\) ist bereits normiert: \(p=-6\), \(q=11\).

\(D=(-3)^{2}-11=9-11=-2<0\)

Aus einer negativen Zahl lässt sich keine reelle Wurzel ziehen — \(h\) hat keine Nullstelle.

Deutung: Der Leitkoeffizient ist positiv, die Parabel ist also nach oben geöffnet. Wegen \(h(3)=9-18+11=2\) liegt der tiefste Punkt bei \((3\mid 2)\), die Parabel verläuft vollständig oberhalb der \(x\)-Achse.

3Substitution Schritt für SchrittAFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{4}-13x^{2}+36\). Arbeiten Sie die Substitution \(z=x^{2}\) der Reihe nach ab. Erst wenn ein Schritt stimmt, geht es weiter.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Nach der Substitution lautet die Gleichung \(z^{2}+pz+q=0\). Wie groß ist \(p\)?
Wie groß ist \(q\)?
Berechnen Sie die Diskriminante \(D=\left(\tfrac{p}{2}\right)^{2}-q\).
Wie groß ist der größere \(z\)-Wert?
Wie groß ist der kleinere \(z\)-Wert?
Welches ist die größte Nullstelle von \(f\)?

\(D=6{,}25\), also \(\sqrt{D}=2{,}5\) und \(z_{1,2}=6{,}5\pm 2{,}5\). Die Rücksubstitution \(x^{2}=9\) und \(x^{2}=4\) liefert vier Nullstellen: \(\mathbb{L}=\{-3;-2;2;3\}\). Beide \(z\)-Werte sind positiv — deshalb bleibt hier keine Lösung auf der Strecke.