Ganzrationale Funktionen: Übungen AFB I – Mathe Klasse 11

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Aufgabenblock — AFB I

AFB I

Zehn gemischte Aufgaben quer durch das ganze Kapitel 4 — von der Definition über Symmetrie und Globalverhalten bis zu den Nullstellen. Auf dieser Stufe geht es ums Reproduzieren: Begriff kennen, Regel anwenden, sauber rechnen. Das sind die sicheren Punkte in jeder Klausur. Fünf Aufgaben sind interaktiv, fünf sind Textaufgaben im Klausurformat mit Hinweisen und Erwartungshorizont.

1Stimmt das über ganzrationale Funktionen?AFB I

Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie zutrifft. Nach jeder Antwort erscheint eine kurze Begründung.

6 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 6

Zwei Dinge entscheiden alles: Die Variable muss in der Basis stehen, und die Exponenten müssen natürliche Zahlen sein. Erst danach lohnt der Blick auf Grad und Koeffizienten.

2Grad, Leitkoeffizient und Absolutglied ablesenAFB I

Gegeben sind \(f(x)=4-x^{3}+2x^{2}\), \(g(x)=5x^{2}-3x^{5}+x-8\) und \(h(x)=\sqrt{x}+x^{2}\).

Geben Sie für \(f\) den Grad, den Leitkoeffizienten und das Absolutglied an.
Bestimmen Sie für \(g\) alle Koeffizienten \(a_{5}\) bis \(a_{0}\).
Begründen Sie, ob \(h\) ganzrational ist.

Hinweis 1 — Ansatz

Ordnen Sie den Term zuerst nach fallenden Exponenten. Erst danach lassen sich Grad und Leitkoeffizient sicher ablesen.

Hinweis 2 — Durchführung

Schreiben Sie fehlende Potenzen mit dem Koeffizienten \(0\) mit. Bei \(h\) hilft die Umschreibung \(\sqrt{x}=x^{\frac12}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Sortiert lautet der Term \(f(x)=-x^{3}+2x^{2}+4\).

Grad: \(n=3\) — der größte Exponent.

Leitkoeffizient: \(a_{3}=-1\) — das Minuszeichen gehört dazu.

Absolutglied: \(a_{0}=4\), zugleich \(f(0)=4\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Sortiert: \(g(x)=-3x^{5}+0x^{4}+0x^{3}+5x^{2}+1x-8\).

\(a_{5}=-3\), \(a_{4}=0\), \(a_{3}=0\), \(a_{2}=5\), \(a_{1}=1\), \(a_{0}=-8\).

Der Grad ist 5, obwohl zwei Koeffizienten null sind.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(h(x)=\sqrt{x}+x^{2}=x^{\frac12}+x^{2}\).

Der Exponent \(\tfrac12\) ist keine natürliche Zahl. Damit ist \(h\) nicht ganzrational, sondern eine Wurzelfunktion mit einem quadratischen Anteil.

3Drei Kennzahlen in einer TabelleAFB I

Bestimmen Sie für jede Funktion Grad, Leitkoeffizient und Absolutglied. Dezimalzahlen mit Komma, negative Zahlen mit Minuszeichen.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, negative Zahlen mit Minuszeichen.

\(f(x)\)	Grad \(n\)	Leitkoeffizient \(a_{n}\)	Absolutglied \(a_{0}\)
\(3x^{4}-2x+7\)
\(-x^{3}+5x^{2}\)
\(6-2x\)
\(\tfrac{1}{2}x^{5}-4x^{3}+x-1\)
\(x^{2}\,(x-3)\)

Bei \(-x^{3}+5x^{2}\) fehlt das Absolutglied, also ist \(a_{0}=0\). Die letzte Zeile muss erst ausmultipliziert werden: \(x^{2}(x-3)=x^{3}-3x^{2}\) — Grad 3, Leitkoeffizient 1, Absolutglied 0.