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Funktionsuntersuchungen

Zehn gemischte Aufgaben zum Beurteilen und Verallgemeinern: Funktionen mit Parameter, Gegenbeispiele, Randextrema und der Vergleich zweier Lösungswege.

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Zehn gemischte Aufgaben auf Anforderungsbereich III: Hier wird beurteilt, verallgemeinert und widerlegt. Du arbeitest mit Parametern statt Zahlen, prüfst Behauptungen mit Gegenbeispielen, vergleichst zwei Lösungswege und begründest, warum ein Verfahren an einer Stelle versagt. Fünf Aufgaben sind interaktiv, fünf sind anspruchsvolle Textaufgaben im Klausurformat.

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Kriterien beurteilen

A1Welches Kriterium trägt hier?AFB III
Fall: \(f(x)=x^{4}-4x^{3}\), Kandidatenstelle \(x_0=0\). Beantworte die Fragen nacheinander. Am Ende steht ein Verfahren — passt es zu diesem Fall?

    \(f'(x)=4x^{3}-12x^{2}=4x^{2}(x-3)\), also \(f'(0)=0\). \(f''(x)=12x^{2}-24x\) ist zwar leicht zu berechnen, aber \(f''(0)=0\) — das Kriterium liefert keine Entscheidung. Links und rechts von 0 ist \(4x^{2}>0\) und \(x-3<0\), also \(f'<0\) auf beiden Seiten: kein Vorzeichenwechsel, folglich ein Sattelpunkt \(S(0\mid 0)\).
    A2Eine Funktion mit ParameterAFB III

    Für jedes \(a>0\) ist eine Funktion \(f_a\) gegeben durch \(f_a(x)=x^{3}-3a^{2}x\).

    1. Bestimme in Abhängigkeit von \(a\) alle Extrempunkte von \(G_{f_a}\).
    2. Weise nach, dass der Wendepunkt für jedes \(a\) im Ursprung liegt.
    3. Untersuche, ob es ein \(a\) gibt, für das der Hochpunkt die Höhe \(16\) hat.
    4. Beurteile die Aussage: „Je größer \(a\), desto weiter liegen Hoch- und Tiefpunkt auseinander — und zwar in beide Richtungen.“
    Lösung anzeigen

    a) \(f_a'(x)=3x^{2}-3a^{2}=3\,(x-a)(x+a)\;\Rightarrow\;x=\pm a\).

    \(f_a''(x)=6x\): \(f_a''(-a)=-6a<0\) (wegen \(a>0\)) ⇒ Hochpunkt; \(f_a''(a)=6a>0\) ⇒ Tiefpunkt.

    \(f_a(-a)=-a^{3}+3a^{3}=2a^{3}\), \(f_a(a)=a^{3}-3a^{3}=-2a^{3}\).

    \(H(-a\mid 2a^{3})\) und \(T(a\mid -2a^{3})\)

    b) \(f_a''(x)=6x=0\Leftrightarrow x=0\), und \(f_a''\) wechselt dort das Vorzeichen. \(f_a(0)=0\) für jedes \(a\), also \(W(0\mid 0)\) — unabhängig vom Parameter.

    c) \(2a^{3}=16\Leftrightarrow a^{3}=8\Leftrightarrow a=2\). Da \(a=2>0\) zulässig ist, gibt es genau ein solches \(a\); der Hochpunkt lautet \(H(-2\mid 16)\).

    d) Die Aussage ist richtig, aber unpräzise formuliert. Der waagerechte Abstand beträgt \(2a\) und wächst linear, der senkrechte Abstand beträgt \(4a^{3}\) und wächst kubisch. Beide wachsen also mit \(a\), aber sehr unterschiedlich schnell: verdoppelt man \(a\), verdoppelt sich der waagerechte Abstand, der senkrechte verachtfacht sich.

    A3Sechs Zeilen, zwei FehlerAFB III
    Eine Schülerlösung zur Aufgabe „Zylinderdose mit \(1\;\text{Liter}\) Inhalt und minimaler Oberfläche“. Der Radius heißt hier \(x\), die Höhe \(h\). Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld für den richtigen Term auf. Schreibweise z. B. 2*pi*x^2+2000/x.
    Zeile 3: Der Mantel ist \(2\pi x h\), nicht \(\pi x h\); mit \(h=\frac{1000}{\pi x^{2}}\) wird daraus \(\frac{2000}{x}\), nicht \(\frac{1000}{x}\). Zeile 6: Beim Ableiten von \(-2000x^{-2}\) entsteht \(+4000x^{-3}\), das Vorzeichen dreht sich also. \(O''(x)=4\pi+\frac{4000}{x^{3}}\) ist für \(x>0\) immer positiv — und genau deshalb ist die Stelle ein Minimum. Mit dem falschen Vorzeichen käme man auf ein Maximum, also auf die inhaltlich unsinnige Aussage, die Dose habe dort die größte Oberfläche.
    2

    Behauptungen prüfen und widerlegen

    3

    Vergleichen und Stellung nehmen