Zehn gemischte Aufgaben auf Anforderungsbereich II: Hier gehst du über das reine Nachrechnen hinaus — mehrschrittige Untersuchungen, Übertragen auf neue Funktionstypen, Fehlersuche in fremden Lösungen und Extremwertaufgaben mit echter Nebenbedingung. Fünf Aufgaben sind interaktiv, fünf rechnest du vollständig auf Papier.
Vollständige Untersuchungen
x^3-4x bzw. 3x^2-4, Zahlenwerte als Zahl.Erste Ableitung: \(f'(x)=\)
Ausklammern liefert die Nullstellen \(x_1=\) , \(x_2=\) und \(x_3=\) .
Zweite Ableitung: \(f''(x)=\)
\(f''(0)=\) , also liegt bei \(x=0\) ein Hochpunkt mit dem Funktionswert vor.
\(f''(2)=\) , also liegt bei \(x=\pm 2\) je ein Tiefpunkt mit dem Funktionswert vor.
Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+11\).
- Untersuche \(G_f\) vollständig auf Monotonie und Extrempunkte.
- Bestimme den Wendepunkt und gib das Krümmungsverhalten an.
- Formuliere einen zusammenhängenden Antwortsatz zum Verlauf des Graphen.
Lösung anzeigen
a) \(f'(x)=3x^{2}-6x-9=3(x-3)(x+1)\;\Rightarrow\;x_1=-1,\;x_2=3\).
\(f''(x)=6x-6\): \(f''(-1)=-12<0\) (Hochpunkt), \(f''(3)=12>0\) (Tiefpunkt).
\(f(-1)=-1-3+9+11=16\), \(f(3)=27-27-27+11=-16\).
steigend auf \(]-\infty;-1[\) und \(]3;\infty[\), fallend auf \(]-1;3[\)
b) \(f''(x)=0\Leftrightarrow x=1\); \(f''\) wechselt dort das Vorzeichen. \(f(1)=1-3-9+11=0\), also \(W(1\mid 0)\). Rechtsgekrümmt für \(x<1\), linksgekrümmt für \(x>1\).
c) „Der Graph steigt bis zum Hochpunkt \(H(-1\mid 16)\), fällt dann — dabei am steilsten im Wendepunkt \(W(1\mid 0)\) — bis zum Tiefpunkt \(T(3\mid -16)\) und steigt danach wieder an.“
Kontrolle: Die Wendestelle liegt bei ganzrationalen Funktionen dritten Grades immer genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkt: \(\frac{-1+3}{2}=1\). ✓