MINT üben

Funktionsuntersuchungen

Zehn gemischte Aufgaben zum sicheren Anwenden: ableiten, Monotonie, notwendige und hinreichende Bedingung, Wendepunkte und eine erste Extremwertaufgabe.

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Zehn gemischte Aufgaben auf Anforderungsbereich I: Du wendest die Verfahren aus Kapitel 5 direkt so an, wie sie eingeführt wurden — ableiten, Bedingung ansetzen, Kandidaten prüfen, Antwortsatz schreiben. Fünf Aufgaben sind interaktiv, fünf rechnest du auf Papier und vergleichst dann mit der Lösung. Alle Themen von 5.0 bis 5.4 kommen vor, damit du merkst, wo noch eine Lücke ist.

1

Ableiten, Monotonie und die Bedingungen

A1Notwendig, hinreichend oder Antwortsatz?AFB I
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke die Ziffer des Korbs.
1notwendige Bedingung
2hinreichende Bedingung
3Antwortsatz
Die notwendige Bedingung siebt Kandidaten aus: ohne \(f'(x_0)=0\) keine Extremstelle. Die hinreichende Bedingung entscheidet, ob aus dem Kandidaten wirklich ein Hoch- oder Tiefpunkt wird. Der Antwortsatz nennt am Ende Art, Stelle und Punkt im Sachzusammenhang.
A2Monotonieintervalle von \(x^{3}-3x\)AFB I

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^{3}-3x\).

  1. Bestimme \(f'(x)\) und alle Nullstellen von \(f'\).
  2. Gib die maximalen Monotonieintervalle von \(f\) an.
  3. Formuliere einen vollständigen Antwortsatz.
Lösung anzeigen

a) \(f'(x)=3x^{2}-3=3(x^{2}-1)=3(x-1)(x+1)\), also \(x_1=-1\) und \(x_2=1\).

b) Probestellen einsetzen: \(f'(-2)=9>0\), \(f'(0)=-3<0\), \(f'(2)=9>0\).

\(f\) ist streng monoton steigend auf \(]-\infty;-1[\) und auf \(]1;\infty[\),
\(f\) ist streng monoton fallend auf \(]-1;1[\).

c) „Der Graph von \(f\) steigt bis \(x=-1\), fällt dann bis \(x=1\) und steigt danach wieder, weil \(f'\) genau an diesen Stellen das Vorzeichen wechselt.“

Achtung: Die Stellen \(-1\) und \(1\) sind Wechselstellen (\(f'=0\)) und gehören zu keinem der Intervalle — deshalb stehen dort offene Klammern.

A3Extremstelle Schritt für SchrittAFB I
Jeder richtige Schritt schaltet den nächsten frei. Gegeben ist \(f(x)=x^{2}-6x+5\). Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
  1. Wie lautet \(f'(x)\) an der Stelle \(x\)? Gib den Wert von \(f'(0)\) an.
  2. Löse \(f'(x)=0\). Welche Extremstelle ergibt sich?
  3. Berechne \(f''(3)\).
  4. Welchen Funktionswert hat \(f\) an dieser Stelle?
\(f'(x)=2x-6\), also \(f'(0)=-6\) und \(f'(x)=0\) für \(x=3\). Wegen \(f''(x)=2>0\) liegt ein Tiefpunkt vor: \(T(3\mid -4)\). Bei einer nach oben geöffneten Parabel ist das der Scheitelpunkt — dasselbe Ergebnis wie mit der Scheitelform.
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Extremstellen, Krümmung und Wendepunkte

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Extremwertaufgaben und Antwortsätze