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Sattelpunkte

Dreißig interaktive Aufgaben zum dritten Fall: waagerechte Tangente ohne Extrempunkt — mit VZW-Kriterium, \(f'''\)-Kriterium und vielen Rechnungen, in denen \(f'\) ein Quadrat ist.

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Übungsaufgaben

Diese Seite dreht sich um eine einzige Unterscheidung: Wann ist eine waagerechte Tangente ein Extrempunkt und wann nur eine Pause? Nach den Begriffen und einer Zuordnung folgen Rechnungen — stationäre Stellen, Werte von \(f''\) und \(f'''\), eine Fehlersuche und eine Funktion mit zwei ganz verschiedenen Fällen. Dazwischen liegen die beiden Gegenbeispiele \(x^{4}\) und \(x^{5}\), an denen sichtbar wird, warum „keine Aussage“ etwas anderes ist als „nein“. Zum Schluss wird rückwärts gerechnet. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.

1Sattelpunkt in WortenAFB I

Vervollständigen Sie den Merktext mit den Wörtern aus der Wortbank. Zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso.

Eine Stelle mit \(f'(x_0)=0\) heißt . Dort kann ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder ein liegen. Ein Sattelpunkt ist ein mit der Steigung : Der Graph läuft davor und danach in Richtung, deshalb ist er Extrempunkt. Weil das ebene Stück wie eine Terrasse im Hang aussieht, sagt man auch . Entschieden wird der Fall mit dem -Kriterium — bleibt das Vorzeichen von \(f'\) gleich, liegt ein Sattelpunkt vor.

Übrig bleiben „Extrempunkt“ und „die entgegengesetzte“. Beides beschreibt genau das Gegenteil: An einem Extrempunkt dreht der Graph die Richtung um, an einem Sattelpunkt behält er sie bei.
2Bedingung und FallAFB I

Verbinden Sie jede Bedingung mit dem Fall, den sie beschreibt.

Wähle links einen Eintrag aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts den passenden Partner an.
Die vierte Zeile ist der Normalfall eines Wendepunkts: Die Krümmung kippt, der Graph läuft aber schräg hindurch. Nur wenn zusätzlich \(f'(x_0)=0\) gilt, wird daraus ein Sattelpunkt. Und die fünfte Zeile ist der Fall, in dem beide schnellen Kriterien versagen — dann hilft nur das VZW-Kriterium.
3Ein Sattelpunkt Schritt für SchrittAFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+12x-5\).

Untersuchen Sie die Funktion auf Extrem- und Sattelpunkte. Jeder Schritt wird erst freigeschaltet, wenn der vorige stimmt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt durch. Enter prüft.
  1. Wie groß ist \(f'(1)\)?
  2. Wie groß ist \(f'(3)\)?
  3. An welcher Stelle \(x_0\) gilt \(f'(x)=0\)?
  4. Welchen Wert hat \(f''(2)\)?
  5. Wie groß ist \(f(2)\)?
\(f'(x)=3x^{2}-12x+12=3(x-2)^{2}\) ist ein Quadrat und deshalb nie negativ: Die beiden Proben \(f'(1)=3\) und \(f'(3)=3\) liefern denselben positiven Wert — kein Vorzeichenwechsel. Wegen \(f''(2)=0\) und \(f'''(2)=6\neq0\) ist \(x=2\) eine Wendestelle, zusammen mit \(f'(2)=0\) also ein Sattelpunkt \(S(2\mid3)\).