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Wanderweg: eben, aber kein Gipfel
AFBEin Wanderweg führt von einem Parkplatz zu einer Berghütte. Sein Höhenprofil wird durch \(h(x)=8x^{3}-72x^{2}+216x+384\) beschrieben (M1). Dabei ist \(x\) die waagerecht gemessene Strecke in Kilometern, \(0\le x\le 6\), und \(h(x)\) die Höhe über dem Meer in Metern.
Auf halber Strecke kommt man an einer Bank vorbei, an der der Weg für einen Moment eben verläuft.
M1Höhenprofil des Wanderwegs
- Lesen Sie aus M1 ab, an welcher Stelle der Weg waagerecht verläuft und in welcher Höhe das ist.Tipp a)Suchen Sie die Stelle, an der sich der Graph kurz „ausruht“, also eine waagerechte Tangente hat.
- Geben Sie die ersten drei Ableitungen \(h'\), \(h''\) und \(h^{\prime\prime\prime}\) an.Tipp b)Leiten Sie Summand für Summand mit Potenz- und Faktorregel ab; die Konstante 384 fällt weg.
- Berechnen Sie \(h'(3)\), \(h''(3)\) und \(h^{\prime\prime\prime}(3)\).Tipp c)Setzen Sie \(x=3\) in die drei Ableitungen ein. Vergleichen Sie das Ergebnis mit den Bedingungen für einen Sattelpunkt.
- Nennen Sie den höchsten Punkt der Wanderung mit seiner Höhe.Tipp d)Der Weg steigt überall oder ist höchstens für einen Moment eben. Wo muss dann der höchste Punkt liegen?
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