MINT üben

Die Goldfolie

Dreißig Aufgaben zum größten Rechteck im Dreieck — von der Geraden durch die Hypotenuse bis zur eigenen Zielfunktion für neue Dreiecksmaße.

0 / 0 Aufgaben
Ü

Übungsaufgaben

Dreißig Aufgaben zum größten Rechteck im rechtwinkligen Dreieck — von der Geradengleichung der Hypotenuse über die vollständige Rechnung bis zu eigenen Dreiecken. Am Ende kennst du eine Regel, mit der sich jede dieser Aufgaben in einer Zeile kontrollieren lässt.

A1Wie hoch ist das Rechteck?AFB II

Die Hypotenuse der Folie ist der Graph von \(g(x)=-\tfrac{3}{4}x+15\). Berechne die Höhe des Rechtecks für eine Breite von \(x=4\;\text{cm}\).

Die obere rechte Ecke liegt auf der Hypotenuse — die Höhe ist also genau \(g(x)\).
\(g(4)=-\tfrac{3}{4}\cdot 4+15=-3+15=12\). Das Rechteck wäre 4 cm breit und 12 cm hoch, sein Flächeninhalt betrüge \(48\;\text{cm}^{2}\) — noch nicht das Maximum.
A2Die Gerade aufstellenAFB II

Die Hypotenuse verläuft durch \((0\,|\,15)\) und \((20\,|\,0)\). Fülle die Rechnung Feld für Feld aus.

Fülle alle Felder aus und prüfe auf einmal. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

\(y\)-Achsenabschnitt ablesen: \(b=\) .

Steigung aus dem Steigungsdreieck: \(m=\dfrac{0-15}{20-0}=\) .

Damit ist \(g(10)=\) und \(g(16)=\) .

Probe an der Nullstelle: \(g(\) \()=0\).

Auf 20 Einheiten nach rechts fällt die Gerade 15 Einheiten, also \(m=-\dfrac{15}{20}=-\dfrac{3}{4}=-0{,}75\). Der Achsenabschnitt ist die Dreieckhöhe, die Nullstelle die Dreiecksbreite.
A3Die ZielfunktionAFB II

Die Fläche des Rechtecks ist \(A=x\cdot g(x)\). Multipliziere aus und gib \(A(x)\) ein.

Schreibweise: -0.75x^2+15x oder -3/4x^2+15x. Der Term muss ausmultipliziert sein.
\(A(x)=x\left(-\tfrac{3}{4}x+15\right)=-\tfrac{3}{4}x^{2}+15x\) für \(0<x<20\). Das ist eine nach unten geöffnete Parabel — sie hat genau einen Hochpunkt.