Funktionen: Übungen AFB III – Mathe Klasse 11

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Potenzfunktionen — Regeln beweisen statt anwenden

Hier geht es nicht mehr ums Rechnen allein: Du sollst verallgemeinern und reflektieren — Regeln beweisen statt anwenden, Aussagen mit Gegenbeispielen widerlegen, Modelle beurteilen und ihre Grenzen benennen. Zehn Aufgaben quer durch das Thema, fünf interaktiv, fünf im Klausurformat mit Hinweis und Erwartungshorizont.

A1Allgemeine Aussagen über PotenzfunktionenAFB III

Betrachtet wird $f(x)=x^{n}$ für beliebiges $n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ — der Exponent ist also nicht festgelegt.

Markiere alle Aussagen, die für jedes zulässige $n$ gelten.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden.

Richtig sind vier Aussagen. $1^{n}=1$ gilt für jedes $n$, deshalb liegt $P(1\,|\,1)$ immer auf dem Graphen — das ist der einzige Punkt, den alle Potenzfunktionen teilen. Die Symmetrie folgt sauber aus $(-1)^{n}$. Für $x>0$ ist $x^{n}$ stets positiv, also liegt immer ein Ast im I. Quadranten — der Graph kann nie vollständig unterhalb der $x$-Achse liegen. Und $x^{-k}=\frac{1}{x^{k}}$ ist ein Bruch mit Zähler 1, der nie null wird. Falsch sind dagegen die Aussagen über $x=0$: Für $n<0$ ist die Stelle gar nicht definiert (Polstelle), also weder Nullstelle noch Teil des Definitionsbereichs, und der Ursprung gehört dann nicht zum Graphen.

A2Symmetrie allgemein nachweisenAFB III

Auf der Erklärseite steht die Symmetrieregel als Merksatz. In dieser Aufgabe wird sie bewiesen. Grundlage ist die Rechenregel $$(-x)^{n}=(-1)^{n}\cdot x^{n}\qquad\text{für alle } n\in\mathbb{N}.$$ Zur Erinnerung: Ein Graph heißt achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn $f(-x)=f(x)$ für alle $x\in D_{f}$ gilt, und punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn $f(-x)=-f(x)$ gilt.

Zeige allgemein, dass der Graph von $f(x)=x^{n}$ für gerades $n$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.
Begründe warum aus derselben Rechenregel für ungerades $n$ die Punktsymmetrie zum Ursprung folgt.
Beurteile die Aussage einer Mitschülerin: „Der Graph von $g(x)=x^{4}+x^{3}$ ist achsensymmetrisch, weil beide Summanden Potenzen von $x$ sind.“

Hinweis zu Aufgabe a)

Schreibe $n=2k$ mit $k\in\mathbb{N}$ und rechne $f(-x)$ aus. Nutze dabei $(-1)^{2k}=\left((-1)^{2}\right)^{k}=1^{k}=1$.„Zeige“ verlangt eine vollständige, allgemeine Rechnung — nicht das Nachrechnen an einem Beispiel.

Hinweis zu Aufgabe b)

Schreibe jetzt $n=2k+1$ und bestimme $(-1)^{2k+1}$. Vergleiche das Ergebnis mit der Definition der Punktsymmetrie.„Begründe“ verlangt ein fachliches Argument, hier gestützt auf dieselbe Rechenregel.

Hinweis zu Aufgabe c)

Prüfe die Behauptung an einer konkreten Stelle, etwa $x=1$ und $x=-1$. Eine Symmetrieaussage muss für alle $x$ gelten.„Beurteile“ verlangt ein eigenes, begründetes Urteil — ein Gegenbeispiel genügt zur Widerlegung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Sei $n=2k$ mit $k\in\mathbb{N}$, also $n$ gerade. Dann gilt für jedes $x\in\mathbb{R}$:

$$f(-x)=(-x)^{n}=(-1)^{n}\cdot x^{n}=(-1)^{2k}\cdot x^{n}=\left((-1)^{2}\right)^{k}\cdot x^{n}=1^{k}\cdot x^{n}=x^{n}=f(x)$$

Damit ist $f(-x)=f(x)$ für alle $x\in D_{f}=\mathbb{R}$ gezeigt — der Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Entscheidend war allein, dass $(-1)$ in gerader Anzahl auftritt und sich die Minuszeichen paarweise aufheben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Sei nun $n=2k+1$ ungerade. Dann ist $(-1)^{2k+1}=(-1)^{2k}\cdot(-1)^{1}=1\cdot(-1)=-1$ und folglich

$$f(-x)=(-1)^{n}\cdot x^{n}=-x^{n}=-f(x).$$

Das ist genau die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung. Beide Fälle stammen also aus einer Quelle: dem Faktor $(-1)^{n}$. Er ist $+1$ bei geradem und $-1$ bei ungeradem Exponenten — mehr steckt hinter der Symmetrieregel nicht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: $g(1)=1^{4}+1^{3}=2$, aber $g(-1)=(-1)^{4}+(-1)^{3}=1-1=0$. Wegen $g(-1)\neq g(1)$ ist der Graph nicht achsensymmetrisch; wegen $g(-1)=0\neq -2=-g(1)$ auch nicht punktsymmetrisch.

Der Denkfehler liegt in der Begründung: Symmetrie hängt nicht davon ab, dass Potenzen auftreten, sondern davon, ob alle auftretenden Exponenten dieselbe Parität haben. Hier mischt $g$ einen geraden und einen ungeraden Exponenten — die beiden Symmetrien heben einander auf, und es bleibt keine übrig.

A3Aussagen bewerten — mit Begründung im KopfAFB III

Fünf Aussagen zu Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen. Entscheide bei jeder, ob sie allgemein gilt.

Bewerte jede Aussage und lies danach die Begründung.

5 Aussagen nacheinander.

Aussage 1 von 5

Zwei der Aussagen sind falsch, und beide Male steckt derselbe Denkfehler dahinter: Eine Regel wird von einer Situation auf eine andere übertragen, ohne die Voraussetzung zu prüfen. Beim Logarithmus wird das Produktgesetz auf eine Summe angewendet, beim Sinus wird aus „steigt immer wieder“ ein „steigt überall“. Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um eine Allaussage zu widerlegen.

Funktionen

Potenzfunktionen — Regeln beweisen statt anwenden

Winkelfunktionen — Herleitungen und Modellkritik

Exponentialfunktionen — Wachstumsarten beurteilen

Logarithmusfunktionen — Umkehrung und Gesetze