Funktionen: Übungen AFB II – Mathe Klasse 11

Kapitel 2Zurück zur KapitelübersichtAlle Unterkapitel zu Potenz-, Winkel-, Exponential- und Logarithmusfunktionen.

Dein Fortschritt:

0 / 0 Aufgaben

Potenzfunktionen — Parameter und Eigenschaften

Auf dieser Stufe reicht das Einsetzen nicht mehr: Du musst Zusammenhänge herstellen — Parameter aus gegebenen Punkten bestimmen, Gleichungen umstellen, Graphen vergleichen und Ergebnisse im Sachzusammenhang deuten. Zehn Aufgaben quer durch Kapitel 2, fünf davon interaktiv, fünf im Klausurformat mit Hinweis und Erwartungshorizont.

A1Den Exponenten aus einem Punkt bestimmenAFB II

Der Punkt $P\left(2\,\middle|\,0{,}125\right)$ liegt auf dem Graphen einer Potenzfunktion $f(x)=x^{n}$.

Arbeite dich Schritt für Schritt zum Exponenten vor und rechne danach einen weiteren Funktionswert aus.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Enter prüft.

Schreibe $0{,}125$ als Bruch mit dem Zähler 1: $0{,}125=$
Der Nenner ist eine Zweierpotenz. Für welches $k$ gilt $8=2^{k}$? $k=$
Aus $2^{n}=\frac{1}{2^{3}}$ folgt für den Exponenten $n=$
Berechne damit $f(-2)=(-2)^{-3}=$

Der entscheidende Schritt ist der Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch: $0{,}125=\frac{1}{8}$. Ein Funktionswert zwischen 0 und 1 bei einer Stelle größer als 1 verlangt einen negativen Exponenten. Wegen $f(x)=x^{-3}=\frac{1}{x^{3}}$ und dem ungeraden Exponenten ist $f(-2)=-\frac{1}{8}$ — der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

A2Kegel im TrichterversuchAFB II

In einem Physikversuch wird Sand durch einen Trichter geschüttet; es entsteht ein Kegel. Für sein Volumen in Abhängigkeit vom Grundkreisradius $r$ gilt näherungsweise $$V(r)=a\cdot r^{3}\qquad\text{mit}\quad [V]=\mathrm{cm}^{3},\ [r]=\mathrm{cm}.$$ Bei einer Messung gehört zum Radius $r=2\ \mathrm{cm}$ das Volumen $V=6\ \mathrm{cm}^{3}$.

Berechne den Vorfaktor $a$ aus der Messung.
Bestimme das Volumen des Sandkegels für $r=5\ \mathrm{cm}$.
Erläutere wie sich das Volumen ändert, wenn der Radius verdoppelt wird — und begründe das am Funktionsterm.

Hinweis zu Aufgabe a)

Setze den Messpunkt in $V(r)=a\cdot r^{3}$ ein. Du erhältst eine einfache lineare Gleichung für $a$.„Berechne“ verlangt Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit.

Hinweis zu Aufgabe b)

Mit dem gefundenen $a$ ist die Funktion vollständig bekannt — jetzt nur noch einsetzen.„Bestimme“ heißt: Lösungsweg darstellen und Ergebnis formulieren.

Hinweis zu Aufgabe c)

Ersetze $r$ durch $2r$ und ziehe die Potenz auseinander: $(2r)^{3}=2^{3}\cdot r^{3}$.„Erläutere“ verlangt einen verständlichen Zusammenhang, hier gestützt auf die Rechnung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: $V(2)=a\cdot 2^{3}=8a$ und $V(2)=6$.

$$8a=6\quad\Rightarrow\quad a=\frac{6}{8}=0{,}75$$ Damit gilt $V(r)=0{,}75\cdot r^{3}$.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

$V(5)=0{,}75\cdot 5^{3}=0{,}75\cdot 125=93{,}75$, also rund $93{,}8\ \mathrm{cm}^{3}$.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

$V(2r)=a\cdot(2r)^{3}=a\cdot 2^{3}\cdot r^{3}=8\cdot a\cdot r^{3}=8\cdot V(r)$.

Das Volumen wird also achtmal so groß, nicht doppelt so groß. Kontrolle mit Zahlen: $V(2)=6$ und $V(4)=0{,}75\cdot 64=48=8\cdot 6$ ✓. Der Grund ist der Exponent 3: Jeder Faktor, mit dem $r$ gestreckt wird, geht in dritter Potenz in das Volumen ein.

A3Welche Eigenschaft hängt wovon ab?AFB II

Für $f(x)=x^{n}$ mit $n\in\mathbb{N}$ hängen manche Eigenschaften von der Parität des Exponenten ab, andere nicht.

Sortiere die neun Karten in den passenden Korb.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1nur bei geradem $n$

2nur bei ungeradem $n$

3bei jedem $n\in\mathbb{N}$

Alles, was mit dem Vorzeichen zu tun hat — Quadranten, Symmetrie, Wertemenge, Monotonie auf ganz $\mathbb{R}$ — hängt an der Parität. Der Grund steckt in $(-x)^{n}=(-1)^{n}\cdot x^{n}$: Der Faktor $(-1)^{n}$ ist $+1$ bei geradem und $-1$ bei ungeradem $n$. Definitionsmenge, die beiden festen Punkte und das Verhalten für große $x$ sind davon unabhängig.

Funktionen

Potenzfunktionen — Parameter und Eigenschaften

Winkelfunktionen — Amplitude, Periode, Modellierung

Exponentialfunktionen — Funktionsterm aufstellen

Logarithmusfunktionen — Gleichungen lösen