Funktionen: Übungen AFB I – Mathe Klasse 11

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Potenzfunktionen — Werte, Symmetrie, Umkehrrechnung

Diese Übung greift auf alle vier Abschnitte von Kapitel 2 zu: Potenz-, Winkel-, Exponential- und Logarithmusfunktionen. Zehn Aufgaben der Anforderungsstufe AFB I — Formel kennen, Werte einsetzen, ausrechnen. Das sind die sicheren Punkte in jeder Klausur. Fünf Aufgaben löst du direkt am Bildschirm, fünf sind Textaufgaben im Klausurformat mit Hinweis und Erwartungshorizont.

A1Wertetabelle zu zwei PotenzfunktionenAFB I

Gegeben sind $f(x)=x^{3}$ und $g(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}$.

Berechne alle fehlenden Funktionswerte. Schreibe Brüche als Dezimalzahl.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls.

$x$	$f(x)=x^{3}$	$g(x)=x^{-2}$
$-2$
$-1$
$0{,}5$
$1$
$2$

In der $f$-Spalte wechselt das Vorzeichen mit der Stelle: $(-2)^{3}=-8$, aber $2^{3}=8$ — ungerader Exponent, punktsymmetrischer Graph. In der $g$-Spalte stehen bei $-2$ und $2$ dieselben Werte, denn der gerade Exponent im Nenner macht jeden Wert positiv. Die Stelle $x=0$ fehlt in der Tabelle, weil $g$ dort nicht definiert ist.

A2Würfelförmige WassertanksAFB I

Ein Hersteller baut würfelförmige Regenwassertanks. Aus der Kantenlänge $a$ in Metern ergibt sich das Fassungsvermögen über die Potenzfunktion $$V(a)=a^{3}\qquad\text{mit}\quad [V]=\mathrm{m}^{3}.$$ Im Katalog stehen die Kantenlängen $1\ \mathrm{m}$, $2\ \mathrm{m}$ und $3\ \mathrm{m}$.

Berechne das Fassungsvermögen der drei Katalogtanks.
Gib an den Exponenten der Potenzfunktion sowie die Definitionsmenge, die im Sachzusammenhang sinnvoll ist.
Berechne die Kantenlänge eines Sondertanks mit $V=64\ \mathrm{m}^{3}$.

Hinweis zu Aufgabe a)

Setze die Kantenlängen nacheinander in $V(a)=a^{3}$ ein. Die dritte Potenz bedeutet: die Zahl dreimal mit sich selbst multiplizieren.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und das Ergebnis mit Einheit dazu.

Hinweis zu Aufgabe b)

Vergleiche $V(a)=a^{3}$ mit der allgemeinen Form $f(x)=x^{n}$. Überlege beim Definitionsbereich, welche Kantenlängen ein echter Tank haben kann.„Gib an“ verlangt nur die Angabe ohne Herleitung — dafür aber vollständig.

Hinweis zu Aufgabe c)

Hier läuft die Rechnung rückwärts: Gesucht ist die Zahl, deren dritte Potenz $64$ ergibt. Ziehe die dritte Wurzel.Auch bei der Umkehrrechnung verlangt „Berechne“ den vollständigen Weg mit Einheit.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: $V(a)=a^{3}$.

$V(1)=1^{3}=1$, also $1\ \mathrm{m}^{3}$. $V(2)=2^{3}=8$, also $8\ \mathrm{m}^{3}$. $V(3)=3^{3}=27$, also $27\ \mathrm{m}^{3}$. Die drei Tanks fassen demnach 1 m³, 8 m³ und 27 m³.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Exponent ist $n=3$. Rein mathematisch wäre $D=\mathbb{R}$; im Sachzusammenhang sind nur positive Kantenlängen sinnvoll, also $D=\mathbb{R}^{+}$ bzw. $a>0$, denn ein Tank muss eine Ausdehnung haben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: $64=a^{3}$. Die dritte Wurzel macht das Potenzieren rückgängig: $$a=\sqrt[3]{64}=64^{\frac{1}{3}}=4$$ Die Kantenlänge beträgt also $4\ \mathrm{m}$. Probe: $4^{3}=64$ ✓.

A3Symmetrie auf einen BlickAFB I

Der Graph einer Potenzfunktion $f(x)=x^{n}$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn $n$ gerade ist, und punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn $n$ ungerade ist. Die Wurzelfunktion hat weder das eine noch das andere.

Ordne jeder Funktion ihre Symmetrieeigenschaft zu — genau ein Kreuz pro Zeile.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht.

	achsensymmetrisch zur $y$-Achse	punktsymmetrisch zum Ursprung	keine der beiden
$f(x)=x^{2}$
$f(x)=x^{3}$
$f(x)=x^{4}$
$f(x)=x^{-3}$
$f(x)=x^{-2}$
$f(x)=\sqrt{x}$

Entscheidend ist allein, ob der Exponent gerade oder ungerade ist — das Vorzeichen des Exponenten spielt dabei keine Rolle: $x^{-2}$ verhält sich wie $x^{2}$, $x^{-3}$ wie $x^{3}$. Die Wurzelfunktion $f(x)=x^{\frac{1}{2}}$ ist nur für $x\ge 0$ definiert; weil die linke Hälfte des Graphen fehlt, kann sie zu keiner der beiden Symmetrien passen.

\(x\)	\(f(x)=x^{3}\)	\(g(x)=x^{-2}\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0{,}5\)
\(1\)
\(2\)

	achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse	punktsymmetrisch zum Ursprung	keine der beiden
\(f(x)=x^{2}\)
\(f(x)=x^{3}\)
\(f(x)=x^{4}\)
\(f(x)=x^{-3}\)
\(f(x)=x^{-2}\)
\(f(x)=\sqrt{x}\)

Funktionen

Potenzfunktionen — Werte, Symmetrie, Umkehrrechnung

Winkelfunktionen — Seitenverhältnisse und Sinuskurve

Exponentialfunktionen — Wachstum berechnen

Logarithmusfunktionen — den Exponenten finden