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Übungsaufgaben
Dreißig Aufgaben zu den Eigenschaften, die jede Logarithmusfunktion mit \(a>1\) hat — und zu dem, was allein von der Basis abhängt. Neben dem Rechnen mit Potenzen geht es um das Vergleichen verschiedener Basen, den Definitionsbereich und die Sonderfälle \(a=1\) und \(a<0\).
1Wertetabelle zur Basis 3AFB I
Gegeben ist \(f(x)=\log_{3}(x)\).
Berechnen Sie die fünf Funktionswerte.
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Negative Zahlen mit Minuszeichen. Enter in einem Feld prüft ebenfalls.
| \(x\) | \(\tfrac19\) | \(1\) | \(3\) | \(27\) | \(81\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) |
\(\tfrac19=3^{-2}\), \(1=3^{0}\), \(3=3^{1}\), \(27=3^{3}\), \(81=3^{4}\). Zwei Werte sollte man sich merken: \(f(1)=0\) für jede Basis und \(f(a)=1\), hier also \(f(3)=1\). Genau das sind die beiden Punkte \((1\,|\,0)\) und \((a\,|\,1)\).
2Was gilt für jede Basis \(a>1\)?AFB I
Der Schieberegler im Applet zeigt: Manches ändert sich mit \(a\), anderes bleibt immer gleich.
Wählen Sie alle Aussagen aus, die für jede Basis \(a>1\) gelten.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Auswahl prüfen“.
Vier Eigenschaften bleiben, egal wie du den Regler stellst. Ein \(y\)-Achsenabschnitt kann es nicht geben, weil \(x=0\) gar nicht zum Definitionsbereich gehört; und Symmetrie zur \(y\)-Achse ist unmöglich, weil links davon überhaupt keine Kurve liegt.
3Die Basis aus einem Punkt bestimmenAFB II
Der Graph von \(f(x)=\log_{a}(x)\) verläuft durch \(P(81\,|\,4)\).
Bestimmen Sie die Basis \(a\).
Setze den Punkt in die Funktionsgleichung ein und schreibe sie als Potenzgleichung. Enter prüft.
Einsetzen liefert \(\log_{a}(81)=4\), also \(a^{4}=81\) und damit \(a=\sqrt[4]{81}=3\). Die negative Lösung \(-3\) fällt weg, weil die Basis positiv sein muss.