Normalengleichung: Übungen – Mathe Klasse 11

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Übungsaufgaben

Die Aufgaben sind nach Anforderungsbereichen geordnet. Am Anfang steht der negative Kehrwert in allen Schreibweisen — als Bruch, als Dezimalzahl und als Produktbedingung \(m\cdot m_t=-1\). In der Mitte wird gerechnet: vollständige Normalengleichungen, Schnittstellen mit den Achsen, eine Fehlersuche und die Sonderfälle mit waagerechter Tangente. Zum Schluss folgen die beiden Verankerungen des Brückenbogens aus dem Unterricht. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.

1Tangenten- und NormalensteigungAFB I

Gegeben ist \(f(x)=x^{2}\) und die Stelle \(x_0=3\).

Bestimmen Sie die Steigung der Tangente und die der Normalen.

Der zweite Wert darf als Bruch -1/6 oder gerundet eingetragen werden. Enter prüft.

\(m_t=\)\(m=\)

\(f'(x)=2x\Rightarrow m_t=6\). Der negative Kehrwert davon ist \(m=-\tfrac16\approx -0{,}1667\). Probe: \(6\cdot(-\tfrac16)=-1\) ✓

2Negativer Kehrwert als BruchAFB I

Eine Tangente hat die Steigung \(m_t=\tfrac{2}{5}\).

Berechnen Sie die Steigung der Normalen als vollständig gekürzten Bruch.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Ein Minus gehört in den Zähler, eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1. Enter prüft.

\(m=-\dfrac{1}{\frac25}=-\dfrac52=-2{,}5\). Aus einer flachen Tangente wird eine steile Normale — der Kehrwert dreht das Verhältnis um, das Minus die Richtung.

3Stehen die Geraden senkrecht?AFB I

Sechs Steigungspaare. Prüfen Sie mit dem Produkt \(m_1\cdot m_2\), ob die Geraden senkrecht aufeinander stehen.

In jeder Zeile gehört genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht, die Pfeiltasten wandern von Feld zu Feld.

Aufgabe	senkrecht	nicht senkrecht
\(m_1=4\) und \(m_2=-0{,}25\)
\(m_1=-3\) und \(m_2=3\)
\(m_1=0{,}8\) und \(m_2=-1{,}25\)
\(m_1=-\tfrac23\) und \(m_2=1{,}5\)
\(m_1=5\) und \(m_2=-5\)
\(m_1=\tfrac14\) und \(m_2=-4\)

Senkrecht genau dann, wenn das Produkt \(-1\) ergibt. Die Gegenzahl allein reicht nicht: \(-3\cdot 3=-9\) und \(5\cdot(-5)=-25\).