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Heißluftballon: wie schnell steigt er?
AFBDie Höhe eines Heißluftballons über dem Startplatz wird in den ersten 15 Minuten der Fahrt näherungsweise durch \(s(t)=6t^{2}-0{,}4t^{3}\) beschrieben. Dabei ist \(t\) die Zeit in Minuten und \(s(t)\) die Höhe in Metern. M1 zeigt den Graphen; der Punkt \(P\) gehört zum Zeitpunkt \(t=3\).
In der Steigphase heizt der Pilot mit dem Brenner nach, ab der 10. Minute lässt er die Luft in der Hülle abkühlen und landet auf einer Wiese. Ein Variometer im Korb zeigt ihm ständig an, wie schnell der Ballon in diesem Augenblick steigt oder sinkt – also die momentane Änderungsrate der Höhe.
M1Höhe des Ballons über der Zeit
- Lesen Sie aus M1 ab, zu welchem Zeitpunkt der Ballon am höchsten ist und wie hoch er dann fliegt.Tipp a)Suchen Sie den höchsten Punkt des Graphen. Gehen Sie von dort senkrecht nach unten zur \(t\)-Achse und waagerecht nach links zur \(s\)-Achse.
- Berechnen Sie die momentane Steiggeschwindigkeit \(s'(3)\) näherungsweise.Tipp b)Berechnen Sie zuerst \(s(3)\). Wählen Sie dann Nachbarstellen immer dichter bei 3, z. B. \(t=3{,}01\) und \(t=3{,}00001\), und bilden Sie jeweils den Differenzenquotienten. Kontrolle mit dem GTR: d/dx an der Stelle 3.
- Zeichnen Sie in M1 die Tangente an den Graphen im Punkt \(P\) ein.Tipp c)Die Tangente geht durch \(P(3\mid 43{,}2)\) und hat die Steigung aus b). Gehen Sie von \(P\) aus 2 Minuten nach rechts – um wie viele Meter müssen Sie dann nach oben?
- Nennen Sie für die Zeitpunkte \(t=5\), \(t=10\) und \(t=12\) jeweils das Vorzeichen von \(s'(t)\).Tipp d)Achten Sie in M1 nur darauf, ob der Graph an der Stelle steigt, fällt oder waagerecht verläuft – nicht darauf, wie hoch er liegt.
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