Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Regeln prüfen, Fehler finden und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe, warum man \(a^0=1\) für \(a\ne0\) festlegt.
Hinweis: Nutze das Muster \(a^3,\ a^2,\ a^1,\ \ldots\) oder den Quotienten \(a^n:a^n\).
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Musterlösung: Beim Senken des Exponenten um 1 teilt man durch a: \(a^0=a^1:a=1\). Außerdem ist \(\frac{a^n}{a^n}=1\) — nach dem Quotientengesetz aber auch \(a^{n-n}=a^0\). Damit beide Rechnungen dasselbe liefern, muss \(a^0=1\) sein. Für \(a=0\) geht das nicht, weil man nicht durch 0 teilen darf.
Untersuche, ob \((a\cdot b)^2=a^2\cdot b^2\) und ob \((a+b)^2=a^2+b^2\) für alle Zahlen gilt.
Hinweis: Setze \(a=2\) und \(b=3\) ein.
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Musterlösung: \((a\cdot b)^2=ab\cdot ab=a^2b^2\) gilt immer (Umordnen der Faktoren). Für die Summe gilt es nicht: \((2+3)^2=25\), aber \(2^2+3^2=13\). Allgemein ist \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) — gleich \(a^2+b^2\) nur, wenn \(ab=0\). Potenzgesetze gelten für Produkte, nicht für Summen.
Beurteile die Aussage: „\(2^{-3}\) ist eine negative Zahl.“
Hinweis: Schreibe die Potenz als Bruch.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Das Minus im Exponenten bedeutet „Kehrwert“, nicht „negativ“: \(2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18=0{,}125\). Für eine positive Basis ist jede Potenz positiv. Negativ wäre z. B. \(-2^3=-8\).