Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Aussagen beurteilen, Fehler finden, Modelle kritisch prüfen. Formuliere deine Antwort in ganzen Sätzen, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründen Sie, dass die Gleichung \(\sin(x)=1{,}2\) keine Lösung hat — am Einheitskreis und am Graphen.
Hinweis: Denken Sie an den Radius des Einheitskreises.
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Musterlösung: \(\sin(x)\) ist die \(y\)-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis mit Radius \(1\); sie liegt immer zwischen \(-1\) und \(1\). Die Höhe \(1{,}2\) wird nie erreicht. Am Graphen: Die Gerade \(y=1{,}2\) verläuft oberhalb aller Hochpunkte und schneidet die Sinuskurve nicht.
Lea löst \(\sin(x)=0{,}5\) in \([0;\,2\pi)\) so: „\(x=\sin^{-1}(0{,}5)=\tfrac{\pi}{6}\). Fertig.“ Beurteilen Sie Leas Lösung.
Hinweis: Zeichnen Sie die Höhe \(0{,}5\) in den Einheitskreis.
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Musterlösung: Leas Wert \(\tfrac{\pi}{6}\) ist richtig, aber unvollständig. Die Waagerechte auf Höhe \(0{,}5\) schneidet den Einheitskreis in zwei Punkten. Der zweite liegt spiegelbildlich zur \(y\)-Achse bei \(x_2=\pi-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{5\pi}{6}\). Lösungsmenge: \(\{\tfrac{\pi}{6};\,\tfrac{5\pi}{6}\}\).
Tim behauptet: „\(f(x)=\sin(2x)\) hat die Periode \(4\pi\), weil der Faktor \(2\) die Welle doppelt so lang macht.“ Nehmen Sie Stellung.
Hinweis: Berechnen Sie, wann \(2x\) den Wert \(2\pi\) erreicht.
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Musterlösung: Tim irrt. Das Argument \(2x\) erreicht \(2\pi\) schon bei \(x=\pi\); die Periode ist \(p=\tfrac{2\pi}{2}=\pi\). Der Faktor \(b=2\) staucht den Graphen in \(x\)-Richtung: Die Welle läuft doppelt so schnell und ist nur halb so lang.