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Aufgabenblock — AFB II
Zehn Aufgaben, die mehrere Schritte verbinden: Einheitskreis und Periode, Graph und Gleichung, Modell und Sachzusammenhang. Rechner im Modus Rad.
A1
Periode vorgeben
AFB IIEin Vorgang wiederholt sich alle \(12\) Stunden.
Bestimmen Sie den Parameter \(b\) im Modell \(f(t)=a\sin(bt)+d\). Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Ansatz: Periode \(p=12\) einsetzen in \(b=\tfrac{2\pi}{p}\).
Rechenweg: \(b=\tfrac{2\pi}{12}=\tfrac{\pi}{6}\).
Lösung: \(b\approx0{,}52\)
Vollständige Lösung
\(b=\tfrac{2\pi}{12}=\tfrac{\pi}{6}\approx0{,}52\). Hinweis: \(t\) muss dann in Stunden eingesetzt werden.
A2
Mittellinie und Amplitude
AFB IIEin Sinusgraph hat als größten Wert \(5\) und als kleinsten Wert \(1\).
Bestimmen Sie \(a>0\) und \(d\).
Ansatz: Mittellinie liegt genau in der Mitte zwischen Max und Min.
Rechenweg: \(d=\tfrac{5+1}{2}\), \(a=\tfrac{5-1}{2}\).
Lösung: \(a=2\), \(d=3\)
Vollständige Lösung
\(d=\tfrac{5+1}{2}=3\) und \(a=\tfrac{5-1}{2}=2\).
A3
Ersten Hochpunkt bestimmen
AFB IIGegeben ist \(f(x)=3\sin\big(2(x-\tfrac{\pi}{4})\big)+1\).
Bestimmen Sie den ersten Hochpunkt mit \(x>0\). Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Ansatz: Der Sinus ist maximal, wenn sein Argument \(\tfrac{\pi}{2}\) ist.
Rechenweg: \(2(x-\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow x-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{4}\).
Lösung: \(H(\tfrac{\pi}{2}\,|\,4)\)
Vollständige Lösung
\(x=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{2}\approx1{,}57\), \(y=3\cdot1+1=4\). Also \(H(1{,}57\,|\,4)\).