Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Aussagen prüfen, Beweise führen und Verfahren vergleichen, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe, warum jeder Bruch mit dem Nenner 13 eine Periode von höchstens 12 Ziffern hat.
Hinweis: Denke an die möglichen Reste beim schriftlichen Dividieren.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Beim Teilen durch 13 können nur die Reste 0, 1, …, 12 auftreten. Kommt der Rest 0, bricht die Dezimalzahl ab. Sonst gibt es nur 12 mögliche Reste; spätestens beim 13. Schritt wiederholt sich einer. Ab dann wiederholen sich alle Rechnungen und Ziffern — die Periode ist also höchstens 12 Ziffern lang.
Beurteile die Aussage „π = 22/7“.
Hinweis: Rechne 22/7 als Dezimalzahl aus.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Die Aussage ist falsch. 22/7 = 3,1̅4̅2̅8̅5̅7̅ ist periodisch und damit rational; π = 3,14159… ist irrational. Die Zahlen unterscheiden sich schon in der dritten Nachkommastelle. Richtig ist π ≈ 22/7 — ein guter Näherungsbruch.
Beweise indirekt, dass √3 irrational ist. Du darfst verwenden: Ist p² durch 3 teilbar, dann auch p.
Hinweis: Gehe vor wie beim Beweis für √2.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Annahme: √3 = p/q mit gekürztem Bruch. Quadrieren: 3 = p²/q², also p² = 3q². Damit ist p² durch 3 teilbar, also auch p: p = 3k. Einsetzen: 9k² = 3q², also q² = 3k². Dann ist auch q durch 3 teilbar. p und q hätten den gemeinsamen Teiler 3 — Widerspruch zur Annahme. Also ist √3 irrational.