Kreis- und Körperberechnungen: Übungen AFB III – Mathe Klasse 10

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Aufgabenblock — AFB III

Begründen statt nur rechnen: Formeln herleiten, Behauptungen prüfen, Fehler finden und eigene Begründungen formulieren — erst selbst aufschreiben, dann die Musterlösung aufklappen.

Doppelter Radius

AFB III

Beurteile die Aussage: „Verdoppelt man den Radius eines Kreises, dann verdoppeln sich Umfang und Flächeninhalt.“

Hinweis: Setze einmal \(r\) und einmal \(2r\) in beide Formeln ein.

Strategie: Vergleiche \(U(2r)\) mit \(U(r)\) und \(A(2r)\) mit \(A(r)\).Warum so? Ein allgemeiner Vergleich mit Variablen zeigt, ob die Aussage für jeden Kreis gilt.

Lösungsskizze: \(U\): Faktor 2. \(A\): \((2r)^2 = 4r^2\) — Faktor 4. Die Aussage stimmt nur halb.

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Musterlösung: Umfang: \(U = 2\pi\cdot 2r = 2\cdot(2\pi r)\) — er verdoppelt sich tatsächlich. Fläche: \(A = \pi(2r)^2 = 4\pi r^2\) — sie wird viermal so groß. Die Aussage ist also falsch, weil der Radius in der Flächenformel quadriert wird. Allgemein: Streckt man einen Kreis mit dem Faktor \(k\), wächst der Umfang mit \(k\), die Fläche mit \(k^2\).

Eine Zahl für alle Kreise

AFB III

Erkläre, warum das Verhältnis \(U : d\) bei jedem Kreis dieselbe Zahl \(\pi\) ergibt — beim Euro-Stück genauso wie beim Riesenrad.

Hinweis: Denke an Vergrößern und Verkleinern: Wie hängen zwei Kreise zusammen?

Strategie: Alle Kreise sind zueinander ähnlich: Jeder entsteht aus jedem anderen durch Strecken mit einem Faktor \(k\).Warum so? Beim Strecken werden alle Längen mit demselben Faktor multipliziert.

Lösungsskizze: Streckung mit \(k\): \(d \to k\cdot d\), \(U \to k\cdot U\), also \(\dfrac{kU}{kd} = \dfrac Ud\).

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Zwei Kreise unterscheiden sich nur in der Größe: Streckt man einen Kreis mit dem Faktor \(k\), werden Durchmesser und Umfang beide \(k\)-mal so lang. Im Quotienten kürzt sich \(k\) weg: \(\dfrac{k\cdot U}{k\cdot d} = \dfrac Ud\). Deshalb hat \(U : d\) für alle Kreise denselben Wert — diesen Wert nennt man \(\pi \approx 3{,}14\).

Archimedes und π

AFB III

Archimedes schloss den Kreis mit \(d = 1\) zwischen ein einbeschriebenes und ein umbeschriebenes 96-Eck ein. Begründe, warum man \(\pi\) so beliebig genau, aber nie exakt als Bruch oder abbrechende Dezimalzahl erhält.

Hinweis: Was passiert mit den beiden Vieleck-Umfängen, wenn man die Eckenzahl verdoppelt?

Strategie: Innen: \(u_n = n\sin\left(\tfrac{180^\circ}{n}\right) < \pi\); außen: \(U_n = n\tan\left(\tfrac{180^\circ}{n}\right) > \pi\).Warum so? Die Kreislinie liegt immer zwischen den beiden Vielecken.

Lösungsskizze: Mit jeder Verdopplung rücken \(u_n\) und \(U_n\) zusammen (Intervallschachtelung) — der Abstand wird nie null, und \(\pi\) ist irrational.

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Musterlösung: Der Kreisumfang \(\pi\) liegt immer zwischen dem Umfang des Innen- und des Außenvielecks: \(u_n < \pi < U_n\). Verdoppelt man die Eckenzahl (6, 12, 24, 48, 96, …), schmiegen sich beide Vielecke enger an den Kreis, das Intervall wird immer kleiner — so erhält man beliebig viele sichere Stellen, bei Archimedes \(3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac17\). Exakt wird es nie, denn jedes Vieleck hat Ecken und ist kein Kreis. Außerdem ist \(\pi\) irrational: keine abbrechende oder periodische Dezimalzahl, kein Bruch — auch \(\tfrac{22}{7}\) ist nur ein Näherungswert.