Kreis- und Körperberechnungen: Übungen AFB II – Mathe Klasse 10

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus dem ganzen Kapitel, bunt gemischt: erst den passenden Körper erkennen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

Fahrradreifen

AFB II

Ein Fahrradreifen hat einen Durchmesser von 70 cm.

a) Berechne den Umfang des Reifens in Metern. b) Wie viele Umdrehungen macht das Rad auf einer Strecke von 1 km? Runde auf ganze Umdrehungen.

a) U = m

b) n ≈ Umdrehungen

Ansatz: Eine Umdrehung legt genau den Umfang zurück: \(U = \pi d\). Für b) teilst du 1000 m durch \(U\).

Rechenweg: \(U = \pi\cdot 0{,}7\) m \(\approx 2{,}1991\) m; \(1000 : 2{,}1991 \approx 454{,}7\).

Lösung: a) ≈ 2,20 m b) ≈ 455 Umdrehungen

Vollständige Lösung

a) \(U = \pi\cdot 0{,}7\) m \(\approx 2{,}20\) m. b) \(n = \dfrac{1000\text{ m}}{0{,}7\pi\text{ m}} \approx 454{,}7\), also rund 455 Umdrehungen. Hinweis: Erst beide Längen in dieselbe Einheit bringen — 70 cm = 0,7 m.

Eine große oder zwei kleine Pizzen?

AFB II

Eine Pizzeria bietet zum gleichen Preis eine große Pizza mit 32 cm Durchmesser oder zwei kleine Pizzen mit je 22 cm Durchmesser an.

a) Berechne die Fläche der großen Pizza. b) Berechne die Fläche der beiden kleinen Pizzen zusammen und vergleiche die Angebote.

a) A = cm²

b) A = cm²

Ansatz: Mit Radien rechnen: \(r = 16\) cm bzw. \(r = 11\) cm; \(A = \pi r^2\), bei b) mal 2.

Rechenweg: \(\pi\cdot 16^2 = 256\pi\); \(2\cdot\pi\cdot 11^2 = 242\pi\).

Lösung: a) ≈ 804,25 cm² b) ≈ 760,27 cm²

Vollständige Lösung

a) \(A = \pi\cdot 16^2 = 256\pi \approx 804,25\) cm². b) \(A = 2\cdot\pi\cdot 11^2 = 242\pi \approx 760,27\) cm². Die große Pizza ist um \(14\pi \approx 43,98\) cm² größer — obwohl \(2\cdot 22\) cm mehr „Durchmesser“ ergibt als 32 cm. Hinweis: Die Fläche wächst mit dem Quadrat des Radius.

Kiesweg um einen Teich

AFB II

Um einen kreisrunden Teich mit dem Radius 3 m wird ein 1 m breiter Kiesweg angelegt. Der Kies wird 5 cm hoch aufgeschüttet.

a) Bestimme die Fläche des Weges. b) Wie viele Kubikmeter Kies werden gebraucht?

a) A = m²

b) V = m³

Ansatz: Der Weg ist ein Kreisring mit \(r_i = 3\) m und \(r_a = 4\) m: \(A = \pi(r_a^2 - r_i^2)\). Für b): Fläche mal Höhe 0,05 m.

Rechenweg: \(\pi(16 - 9) = 7\pi \approx 21{,}99\); \(21{,}99\cdot 0{,}05 \approx 1{,}100\).

Lösung: a) ≈ 21,99 m² b) ≈ 1,10 m³

Vollständige Lösung

a) \(A = \pi(4^2 - 3^2) = 7\pi \approx 21,99\) m². b) Die Kiesschicht ist ein flacher Körper mit Grundfläche \(A\) und Höhe 5 cm = 0,05 m: \(V = 7\pi\cdot 0{,}05 \approx 1,10\) m³. Hinweis: \(r_a = 3 + 1 = 4\) m — nicht die Wegbreite quadrieren.

Der Weg ist ein Kreisring