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Exponentielle Zusammenhänge

Warum zehn Prozent Verlust pro Jahr nie bei null enden — zehn Aufgaben, bei denen Rechnen allein nicht reicht.

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Aufgabenblock — AFB III

Begründen statt nur rechnen: Aussagen widerlegen, Modelle beurteilen, Fehler finden und allgemein zeigen. Formuliere deine Antwort in ganzen Sätzen, bevor du die Musterlösung aufklappst.

A1
Nach zehn Jahren alles weg?
AFB III

Ein Mitschüler behauptet: „Ein Auto verliert jedes Jahr \(10\,\%\) seines Werts. Nach 10 Jahren ist es also nichts mehr wert.“ Widerlegen Sie die Aussage mit einer Rechnung.

Hinweis: Worauf beziehen sich die \(10\,\%\) in jedem neuen Jahr?

Strategie: Den jährlichen Wertverlust als Faktor schreiben und zehnmal anwenden.Warum so? Der Faktor zeigt sofort, welcher Anteil nach 10 Jahren übrig bleibt — unabhängig vom Neupreis.
Lösungsskizze: \(10\,\%\) Verlust → Faktor \(0{,}9\) · \(0{,}9^{10}\approx0{,}349\) · rund \(35\,\%\) Restwert · der Irrtum rechnet linear (\(10\cdot10\,\%\)).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Der Wert sinkt jedes Jahr auf das \(0{,}9\)-Fache des Vorjahreswerts, nicht um \(10\,\%\) des Neupreises. Nach 10 Jahren bleibt das \(0{,}9^{10}\approx0{,}349\)-Fache übrig. Ein Auto für \(20\,000\) € ist dann noch etwa \(6\,974\) € wert. Die Behauptung ist falsch: Sie addiert die Prozentsätze wie bei linearer Abnahme. Bei exponentieller Abnahme wird der Wert nie null, weil \(0{,}9^t>0\) für alle \(t\) gilt.

A2
Verdopplungszeit ohne Startwert
AFB III

Zeigen Sie allgemein: Bei \(f(t)=a\cdot b^t\) mit \(a>0\) und \(b>1\) hängt die Verdopplungszeit \(T_D\) weder vom Startwert \(a\) noch vom Zeitpunkt \(t\) ab.

Hinweis: Schreiben Sie „nach der Zeit \(T_D\) ist der Wert doppelt so groß“ als Gleichung.

Strategie: Die Bedingung \(f(t+T_D)=2\cdot f(t)\) aufstellen und vereinfachen.Warum so? Wenn nach dem Vereinfachen weder \(a\) noch \(t\) übrig ist, ist die Aussage gezeigt.
Lösungsskizze: \(a\cdot b^{t+T_D}=2\,a\cdot b^t\) · \(b^{t+T_D}=b^t\cdot b^{T_D}\) · durch \(a\cdot b^t\ne0\) teilen · \(b^{T_D}=2\) · \(T_D=\log_b(2)\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Nach der Zeit \(T_D\) soll gelten: \(f(t+T_D)=2\cdot f(t)\), also \(a\cdot b^t\cdot b^{T_D}=2\cdot a\cdot b^t\). Da \(a\cdot b^t\) nie null ist, darf man dadurch teilen und erhält \(b^{T_D}=2\), also \(T_D=\log_b(2)\). In diesem Ergebnis kommen weder \(a\) noch \(t\) vor. Die Verdopplungszeit hängt nur vom Wachstumsfaktor ab — egal, ob man mit 10 oder 10 000 beginnt und zu welchem Zeitpunkt man startet.

A3
Erst rauf, dann runter
AFB III

Ein Fahrradladen erhöht einen Preis zwei Jahre nacheinander um je \(10\,\%\) und senkt ihn dann um \(20\,\%\). Der Chef sagt: „Damit sind wir wieder genau beim alten Preis.“ Beurteilen Sie die Aussage.

Hinweis: Prozentuale Änderungen wirken immer auf den jeweils aktuellen Preis.

Strategie: Jede Änderung als Faktor schreiben und die Faktoren multiplizieren.Warum so? Das Produkt der Faktoren ist die Gesamtänderung — ohne dass ein Preis bekannt sein muss.
Lösungsskizze: Faktoren \(1{,}1\), \(1{,}1\), \(0{,}8\) · \(1{,}1^2\cdot0{,}8=0{,}968\) · \(3{,}2\,\%\) unter dem alten Preis · Beispiel 1 000 € → 1 210 € → 968 €.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Die Gesamtänderung ist \(1{,}1\cdot1{,}1\cdot0{,}8=0{,}968\): Der Preis liegt am Ende \(3{,}2\,\%\) unter dem Ausgangspreis. Beispiel: Aus 1 000 € werden 1 100 €, dann 1 210 €, nach der Senkung 968 €. Der Chef hat die Prozentsätze addiert (\(+10+10-20=0\)); die Senkung um \(20\,\%\) bezieht sich aber auf den schon erhöhten Preis.