Exponentielle Zusammenhänge: Übungen AFB II – Mathe Klasse 10

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Aufgaben aus allen Unterkapiteln: erst die Situation übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

Wasserlinsen im Gartenteich

AFB II

Auf einem Gartenteich bedecken Wasserlinsen zu Beobachtungsbeginn \(12\,\mathrm{m^2}\). Die bedeckte Fläche wächst täglich um \(15\,\%\).

a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung für die bedeckte Fläche \(A(t)\) auf (\(t\) in Tagen). Welche Fläche ist nach 7 Tagen bedeckt? b) Nach wie vielen Tagen sind \(100\,\mathrm{m^2}\) bedeckt?

a) \(A(7)\) = m²

b) \(t\) = Tage

Ansatz: Anfangswert \(12\), Faktor \(1{,}15\): \(A(t)=12\cdot1{,}15^t\). Für b) die Gleichung \(A(t)=100\) durch Logarithmieren lösen.

Rechenweg: a) \(1{,}15^7\approx2{,}66\), also \(12\cdot2{,}66\approx31{,}92\). b) \(1{,}15^t=\tfrac{100}{12}\approx8{,}33\) → \(t=\log_{1{,}15}\!\big(\tfrac{100}{12}\big)\).

Lösung: a) \(A(7)\approx31{,}92\,\mathrm{m^2}\) b) \(t\approx15{,}17\) Tage

Vollständige Lösung

\(A(t)=12\cdot1{,}15^t\). a) \(A(7)=12\cdot1{,}15^7\approx31{,}92\,\mathrm{m^2}\). b) \(12\cdot1{,}15^t=100\iff1{,}15^t=\tfrac{100}{12}\iff t=\log_{1{,}15}\!\big(\tfrac{100}{12}\big)\approx15{,}17\). Nach gut 15 Tagen sind \(100\,\mathrm{m^2}\) bedeckt. Hinweis: Erst durch den Anfangswert teilen, dann logarithmieren — \(12\cdot1{,}15\) darf nicht zusammengefasst werden.

Wertverlust eines E-Bikes

AFB II

Ein E-Bike verliert jedes Jahr denselben Prozentsatz seines Werts. Nach 2 Jahren ist es noch \(1\,878{,}50\) € wert, nach 5 Jahren noch \(1\,153{,}63\) €. Modell: \(W(t)=a\cdot b^t\) (\(t\) in Jahren).

a) Ermitteln Sie den jährlichen Faktor \(b\). b) Welchen Neupreis \(a\) hatte das E-Bike?

a) \(b\) =

b) \(a\) = €

Ansatz: Die beiden Punkte \((2\,|\,1878{,}50)\) und \((5\,|\,1153{,}63)\) einsetzen und die Gleichungen durcheinander teilen — dann fällt \(a\) weg.

Rechenweg: \(\tfrac{a\cdot b^5}{a\cdot b^2}=b^3=\tfrac{1153{,}63}{1878{,}50}\approx0{,}6141\) → \(b=\sqrt[3]{0{,}6141}\). Danach \(a=\tfrac{1878{,}50}{b^2}\).

Lösung: a) \(b\approx0{,}85\) b) \(a\approx2600\) €

Vollständige Lösung

Aus \(a\cdot b^2=1878{,}50\) und \(a\cdot b^5=1153{,}63\) folgt \(b^3\approx0{,}6141\), also \(b\approx0{,}85\). Dann \(a=\tfrac{1878{,}50}{0{,}85^2}=\tfrac{1878{,}50}{0{,}7225}=2600\). Das E-Bike kostete neu 2 600 € und verliert jährlich \(15\,\%\) seines Werts. Hinweis: Der Exponent 3 ist der Abstand der Zeitpunkte \(5-2\), nicht 5.

Zwei Sparangebote

AFB II

Lina legt \(5\,000\) € an. Bei Angebot A kommen jedes Jahr fest \(180\) € dazu. Bei Angebot B gibt es \(3\,\%\) Zinsen pro Jahr mit Zinseszins.

a) Vergleichen Sie die Kontostände nach 10 Jahren: Um wie viel Euro liegt A vor B? b) Nach wie vielen vollen Jahren liegt B erstmals vorn?

a) Vorsprung = €

b) \(t\) = Jahre

Ansatz: A wächst linear: \(A(t)=5000+180\,t\). B wächst exponentiell: \(B(t)=5000\cdot1{,}03^t\). Für b) eine Wertetabelle (GTR/CAS) ab \(t=10\) anlegen.

Rechenweg: a) \(A(10)=6800\), \(B(10)=5000\cdot1{,}03^{10}\approx6719{,}58\). b) \(t=12\): \(7160\) gegen \(7128{,}80\); \(t=13\): \(7340\) gegen \(7342{,}67\).

Lösung: a) \(80{,}42\) € b) nach 13 Jahren

Vollständige Lösung

a) \(6800-6719{,}58=80{,}42\) €: Nach 10 Jahren ist A noch um \(80{,}42\) € besser. b) Die Tabelle zeigt, dass B im 13. Jahr überholt (\(7342{,}67\) € gegen \(7340\) €). Danach wächst der Abstand immer schneller. Hinweis: Exponentielles Wachstum mit \(b>1\) überholt jedes lineare Wachstum irgendwann — auch wenn es anfangs langsamer ist.