Begrenztes Wachstum: Übungen – Mathe Klasse 10

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Übungsaufgaben

Dreißig Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

Linear, exponentiell oder begrenzt?

AFB I Mix

Jede Karte zeigt die ersten vier Werte eines Bestands. Ordne jede Folge dem passenden Wachstumsmodell zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1linear

2exponentiell

3begrenzt

200; 180; 162 ist exponentiell (Faktor 0,9), 200; 180; 160 linear (−20). Bei begrenztem Wachstum schrumpfen die Zuwächse — und zwar die Abstände zu einer Schranke mit festem Faktor: 90; 45; 22,5 bis 100 oder 60; 30; 15 bis 20.

Ansatz: Berechne erst die Differenzen, dann die Quotienten aufeinanderfolgender Werte.Warum? Konstante Differenz = linear, konstanter Quotient = exponentiell.

Rest: Passt beides nicht und werden die Schritte immer kleiner, suche eine Schranke S: Sind die Quotienten der Abstände S − f(n) konstant, ist das Wachstum begrenzt. Probiere S = 100 bzw. S = 20.

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Ein Bestand wird durch f(t) = 500 − 380 · 0,85^t beschrieben. Lies die nötigen Größen aus dem Term ab und entscheide über jede Aussage.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Im Term S − (S − f(0)) · bᵗ stecken alle Größen: S, das Anfangsmanko S − f(0) und b = 1 − k.

Ansatz: Vergleiche mit der Form f(t) = S − (S − f(0)) · b^t.Warum? Dann kannst du S, S − f(0) und b direkt ablesen.

Rechenweg: S = 500, Anfangsmanko 380, also f(0) = 120; b = 0,85, also k = 1 − 0,85 = 0,15.

Drei Terme, drei Kennzahlen

AFB I

Alle drei Terme beschreiben begrenztes Wachstum bzw. begrenzte Abnahme. Gib jeweils Schranke, Startwert und Anteil k an.

Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag. Alle Felder müssen stimmen.

Term	Schranke S	Startwert f(0)	Anteil k
f(t) = 60 − 45 · 0,7^t
g(t) = 2000 − 1500 · 0,96^t
h(t) = 18 + 62 · 0,9^t

h(t) = 18 + 62 · 0,9ᵗ ist dieselbe Form mit negativem Manko: 18 − (18 − 80) · 0,9ᵗ. Der Wert fällt von 80 auf die Schranke 18 zu. Und immer gilt k = 1 − b, nicht k = b.

Ansatz: Setze t = 0 ein, dann ist b⁰ = 1 — so erhältst du den Startwert. Die Schranke ist die Zahl, die übrig bleibt, wenn b^t gegen 0 geht.Warum? Für große t verschwindet der Summand mit b^t.

Anteil: Das Manko wird je Schritt mit b multipliziert, schrumpft also um den Anteil k = 1 − b.