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Das Prinzip Rekursion

Zwei Aufgaben im Abiturformat — von Sitzreihen im Theater bis zur ungelösten Collatz-Vermutung.

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Sitzreihen im Theater

AFB I–II

Im Parkett eines Theaters hat die vorderste Reihe 12 Plätze, jede weitere Reihe 2 Plätze mehr. Das Kassensystem berechnet die Platzzahlen mit den abgebildeten Methoden: plaetze(r) liefert die Zahl der Plätze in Reihe r, gesamt(r) die Zahl der Plätze in den Reihen 1 bis r.

Material: Methoden des Kassensystems
static int plaetze(int r) {
    if (r == 1) {
        return 12;
    }
    return plaetze(r - 1) + 2;
}

static int gesamt(int r) {
    if (r == 0) {
        return 0;
    }
    return plaetze(r) + gesamt(r - 1);
}
  1. Beschreiben Sie für die Methode plaetze die Abbruchbedingung und den Rekursionsschritt und deren Bedeutung im Sachzusammenhang. 3 BE
  2. Bestimmen Sie die Rückgabewerte von plaetze(4) und gesamt(3). Stellen Sie dabei die Auswertung der Aufrufe schrittweise dar. 5 BE
  3. Untersuchen Sie, was beim Aufruf plaetze(0) geschieht, und verändern Sie die Methode so, dass sie für alle \(r \le 0\) den Wert 0 liefert. 4 BE
  4. Zeigen Sie, dass plaetze(r) für alle \(r \ge 1\) den Wert \(10 + 2r\) liefert. 4 BE

Insgesamt 16 BE

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Abbruchbedingung ist die Zeile ohne Selbstaufruf. Was bedeutet „Reihe 1“ im Theater?
Hinweis zu Aufgabe b)
Schreiben Sie die Aufrufe untereinander, bis die Abbruchbedingung greift, und rechnen Sie dann rückwärts.
Hinweis zu Aufgabe c)
Welche Parameter entstehen ausgehend von 0? Wird die Abbruchbedingung r == 1 je erreicht?
Hinweis zu Aufgabe d)
Argumentieren Sie wie bei einer vollständigen Induktion: Gilt es für \(r = 1\), und folgt es für \(r\) aus \(r - 1\)?